Системы линейных уравнений с двумя переменными

Система уравнений с двумя переменными: $$ \left\{ \begin{array}{l} f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end{array} \right. $$

Решением системы уравнений является пара чисел (a, b) , при подстановке которой в исходную систему получаются верные тождества: $$ \left\{ \begin{array}{l} f_1 (a,b) \equiv C_1 \\ f_2 (a,b) \equiv C_2 \\ \end{array} \right.$$

Исходная система уравнений допускает следующие тождественные преобразования:

1. $$ \left\{ \begin{array}{l} f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end{array} \right.$$ $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} af_1 (x,y) + bf_2 (x,y) = aC_1 + bC_2 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end{array} \right. $$

2. $$ \left\{ \begin{array}{l} f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end{array} \right.$$ $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f_1 (x,y) \cdot f_2 (x,y) = C_1 \cdot C_2 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end{array} \right.$$

3. $$ \left\{ \begin{array}{l} f_1 (x,y) = C_1 \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end{array} \right.$$ $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f_1 (x,y)}}{{f_2 (x,y)}} = \frac{{C_1 }}{{C_2 }} \\ f_2 (x,y) = C_2 \\ \end{array} \right.$$

Замечание: Данные преобразования возможны, если $$ a \ne 0 $$ и $$ C_2 \ne 0 $$.. Аналогично можно преобразовать и второе уравнение системы.

Система линейных уравнений с двумя переменными. Система вида $$\left\{ \begin{array}{l} a_1 x + b_1 y = c_1 , \\ a_2 x + b_2 y = c_2 . \\ \end{array} \right.$$ где $$a_1^2 + b_1^2 \ne 0$$ и $$a_2^2 + b_2^2 \ne 0$$, называются системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Система линейных уравнений:

  • имеет единственное решение, если $$\frac{{a_1 }}{{a_2 }} \ne \frac{{b_1 }}{{b_2 }}$$;
  • имеет бесконечное множество решений, если $$\frac{{a_1 }}{{a_2 }} = \frac{{b_1 }}{{b_2 }} = \frac{{c_1 }}{{c_2 }}$$;
  • не имеет решений, если $$\frac{{a_1 }}{{a_2 }} = \frac{{b_1 }}{{b_2 }} \ne \frac{{c_1 }}{{c_2 }}$$.

Решение системы линейных уравнений - метод последовательного исключения переменной:

$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 1 \\ x + 2y = 4 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2(4 - 2y) - 3y = 1 \\ x = 4 - 2y \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 8 - 4y - 3y = 1 \\ x = 4 - 2y \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 1 \\ x = 2 \\ \end{array} \right. $$. Ответ: (2; 1)

2017-08-08 18:06:53