Образцы решения заданий по теме "Тригонометрические уравнения"

Пример 1. Решите уравнение $$\frac{{2\sin x - \sqrt 3 }}{{2\cos x + 1}} = 0$$

Решение: $$\frac{{2\sin x - \sqrt 3 }}{{2\cos x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sin x - \sqrt 3 = 0, \\ 2\cos x + 1 \ne 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}, \\ \cos x \ne - \frac{1}{2}. \\ \end{array} \right.$$ $$ \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + 2\pi n,\;n \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{\pi }{3} + 2\pi n,\;n \in Z$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • $$ \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0 \\ g(x) \ne 0 \\ \end{array} \right. $$
  • Формулы решения простейшего тригонометрического уравнения
  • Выбор корней уравнения на тригонометрическом круге среди серий корней простейших уравнений.

Пример 2. Решите уравнение $$\ln \left( {\cos x - \cos 3x} \right) = \ln \sin 2x$$

Решение: $$\ln \left( {\cos x - \cos 3x} \right) = \ln \sin 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos x - \cos 3x = \sin 2x, \\ \sin 2x > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow $$ $$\left\{ \begin{array}{l} 2\sin x\sin 2x = \sin 2x, \\ \sin 2x > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\left( {2\sin x - 1} \right) = 0, \\ \sin 2x > 0. \\ \end{array} \right.$$ $$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin 2x = 0, \\ \sin 2x > 0. \\ \end{array} \right.$$ или $$\left\{ \begin{array}{l} 2\sin x - 1 = 0, \\ \sin 2x > 0. \\ \end{array} \right. \Rightarrow $$ $$\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x = 0, \\ \sin 2x > 0. \\ \end{array} \right.$$ не имеет решения, а $$\left\{ \begin{array}{l} 2\sin x - 1 = 0, \\ \sin 2x > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin x = \frac{1}{2}, \\ \sin 2x > 0. \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} + 2\pi n,\;n \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{\pi }{6} + 2\pi n,\;n \in Z$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойство равносильности логарифмических уравнений: $$\log _a f(x) = \log _a g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) > 0, \\ g(x) > 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$
  • Формула тригонометрии: $$\cos \alpha - \cos \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}$$
  • Метод разложения на множители.
  • $$ f(x) \cdot g(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = 0 \\ g(x) = 0 \\ \end{array} \right.$$
  • Решение простейшего тригонометрического уравнения
  • Выбор корней уравнения на тригонометрическом круге в соответствии с условием.
2017-01-14 15:03:45