логин
пароль
 
Забыли пароль?

Иррациональные выражения

Ключевые слова: радикалы, преобразования арифметических корней, вынесение множителя из-под знака корня, тождество, внесение множителя под знак корня.

Простейшие преобразования арифметических корней.

При преобразовании арифметических корней используются их свойства:

  1. $$\root n \of {ab}= \root n \of {a}\root n \of {b}$$
  2. $$\root n \of {\frac{a}{b}}= \frac{\root n \of {a}}{\root n \of {b}}$$
  3. $$(\root n \of {a})^{k}=\root n \of {a^{k}}$$
  4. $$\root n \of {\root k \of {a}}=\root n \cdot k \of {a}$$
  5. $$\root n \cdot m \of {a^{k \cdot m}}= \root n \of {a^{k}}$$

Пример 1. Извлечь корень из произведения $$\root 3 \of {a^{3}b^{9}}$$.
Решение.
Применим свойство 1, получим \[\root 3 \of {a^{3}b^{9}} = \root 3 \of {a^{3}} \root 3 \of {b^{9}}= ab^{3}\].

Пример 2. Вынесите множитель из-под знака корня $$\sqrt{45a^{5}}$$.
Решение
. \[\sqrt{45a^{5}} = \sqrt{9a^{4}5a}= \sqrt{9}\sqrt{a^{4}}\sqrt{5a}= 3a^{2}\sqrt{5a}\].

Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня.
Цель преобразования - упростить подкоренноет выражение.

Пример 3. Упростить $$(\root 3 \of {a^{2}})^{5}$$.
Решение. По свойству 3 имеем $$(\root 3 \of {a^{2}})^{5}=\root 3 \of ({a^{2}})^{5}=\root 3 \of {a^{10}}$$.
Далее обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак корня.
Имеем $$\root 3 \of {a^{10}}=\root 3 \of {a^{9} \cdot a}= \root 3 \of {a^{9}} \cdot \root 3 \of {a}= a^{3}\root 3 \of {a}$$.

Пример 4. Упростить $$\root 4 \of {x^{2}\root 3 \of {x}}$$.
Решение.
Преобразуем выражение \[ x^{2} \root 3 \of {x}, \]
внеся множитель под знак корня: $$x^{2}\root 3 \of {x} = \root 3 \of {(x^{2})^{3}} \cdot \root 3 \of {x}= \root 3 \of {x^{6}} \cdot \root 3 \of {x}= \root 3 \of {x^{6}x}= \root 3 \of {x^{7}}$$.
По свойству 4 имеем $$\root 4 \of {\root 3 \of {x^{7}}}=\root 12 \of {x^{7}}$$.

Пример 5. Упростить $$\root 30 \of {x^{9}}$$.
Решение.
По свойству 5 имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число.
Если разделить на 3. то получим $$\root 30 \of {x^{9}} = \root 10 \of {x^{3}}=\root 10 \of {8}$$.

Тождество $$\sqrt{a^{2}}= |a|$$.

Упростим выражение $$\sqrt{a^{2}}$$.
Рассмотрим два случая: $$a\ge0$$ или a < 0.
Если $$a\ge0$$, то $$\sqrt{a^{2}}=a$$; например, $$\sqrt{2^{2}}=2, \sqrt{27^{2}}=27,\sqrt{0^{2}}=0$$.
Если же a < 0, то $$\sqrt{a^{2}}= - a$$; например, $$\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2 = - (-2)$$.
Вообще, если n - четное число, т.е. n =2k, то $$\root 2k \of {a^{2k}}= |a|$$.

Пример. Упростить выражение $$\sqrt{x^{2}-6x+9}+\sqrt{2-x}+x-3$$.
Решение. Имеем: $$\sqrt{x^{2}-6x+9}=\sqrt{(x-3)^{2}}= |x-3|$$.
Поскольку заданное выражение содержит слагаемое $$\sqrt{2-x}$$, то $$2-x \ge 0$$, откуда находим, что $$x \le 0$$.
Значит, x - 3 < 0, а поэтому |x -3| = -(x - 3) = 3 - x.
Итак, $$\sqrt{x^{2}-6x+9}=3-x|$$, и получаем $$\sqrt{x^{2}-6x+9}+\sqrt{2-x}+x-3 = 3 -x +\sqrt{2-x}+x-3 = \sqrt{2-x}$$.