Метод замены функций для решениия неравенств

Основная идея метода.
Метод интервалов, как правило, легко применяется в решении рациональных неравенств. Поэтому в решении неравенств повышенной сложности возникает желание свести это решение к решению рациональных неравенств методом интервалов.
В этом нам поможет метод замены функции, если неравенство приведено к стандартному виду $$ \frac{{f_1 \cdot f_2 \cdot ... \cdot f_n }}{{g_1 \cdot g_2 \cdot ... \cdot g_k }} \vee 0$$, где символ можно заменить одним из знаков сравнения: $$< ,\; > ,\; \le ,\; \ge $$.
Если неравенство приведено к стандартному виду, то общий знак сравнения, будет зависеть от знаков множителей, входящих в неравенство. Если какой либо множитель <неудобный> для решения неравенства, то его можно заменить другим множителем равносильным (знакосовпадающим с ним и имеющие одни и те же корни) в области допустимых значений неравенства.
Можно заменить несколько множителей, а можно заменить и все, но важно помнить, что неравенство должно быть представлено множителями, сравнимыми с нулем.
Метод замены функции предполагает две основные замены:
1) Если функция $$ f\left( x \right)$$ строго возрастает, то $$ \left( {x_1 - x_2 } \right) \leftrightarrow \left( {f\left( {x_1 } \right) - f\left( {x_2 } \right)} \right)$$.
2) Если функция $$f\left( x \right)$$ строго убывает, то $$ \left( {x_1 - x_2 } \right) \leftrightarrow \left( {f\left( {x_2 } \right) - f\left( {x_1 } \right)} \right)$$.

Замечание. Если множитель всюду  положительный, то его можно заменить множителем (1). Если множитель всюду отрицательный, то его можно заменить множителем (-1). К примеру, если $$ ax^2 + bx + c$$  имеет отрицательный дискриминант, то его можно заменить старшим коэффициентом a: $$ ax^2 + bx + c$$ $$\leftrightarrow $$ a, если $$ D = b^2 - 4ac < 0$$.

2017-08-07 21:05:16