Равносильность иррациональных неравенств: теоретический справочник

Решение иррациональных неравенств сводится к решению равносильных неравенств, при этом:

Свойство 1. Иррациональное неравенство с корнями четной степени вида $$\sqrt[{2k}]{{f(x)}} < g(x)$$ равносильно неравенству $$f(x) < g^{2k} (x)$$, если $$f(x) \ge 0,g(x) > 0$$, т.е. $$\sqrt[{2k}]{{f(x)}} < g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) < g^{2k} (x), \\ f(x) \ge 0,g(x) > 0. \\ \end{array} \right.$$.

Свойство 2. Иррациональное неравенство с корнями четной степени вида $$\sqrt[{2k}]{{f(x)}} > g(x)$$ равносильно совокупности систем неравенств: $$\left\{ \begin{array}{l} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.$$ и $$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = g^{2k} (x), \\ f(x) \ge 0, \\ g(x) \ge . \\ \end{array} \right.$$.

Свойство 3. Иррациональное неравенство с корнями нечетной степени вида $$\sqrt[{2k + 1}]{{f(x)}} > g(x)$$ равносильно неравенству $$f(x) > g^{2k + 1} (x)$$.

Свойство 4. Иррациональное неравенство с корнями нечетной степени вида $$\sqrt[{2k + 1}]{{f(x)}} < g(x)$$ равносильно неравенству $$f(x) < g^{2k + 1} (x)$$.

2017-01-14 12:18:31