Преобразование логарифмических выражений: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания свойств
Формула
$$\quad $$ $$2^{1 + \log _2 6} = 2 \cdot 2^{\log _2 6} = 2 \cdot 6 = 12$$ Свойства степени $$a^{\log _a b}$$ с логарифмическим показателем степени $$\quad $$ $$a^{\log _a b} = b,\quad \;\left| b \right| = a^{\log _a \left| b \right|} $$
$$\quad $$ $$\log _2 2^{125} = 125 \cdot \log _2 2 = 125$$ Свойства логарифма $$\log _a a$$ $$\quad $$ $$\log _a a = \lg 10 = \ln e = 1$$
$$\quad $$ $$\begin{array}{l} \log _9 \log _5 \log _2 2^{125} = \log _9 \log _5 \left( {125 \cdot \log _2 2} \right) = \\ = \log _9 \log _5 125 = \log _9 \log _5 5^3 = \log _9 \left( {3 \cdot \log _5 5} \right) = \log _9 3 \\ \end{array}$$ Свойства логарифма степени $$\log _a b^m $$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} \log _a b^m = m \cdot \log _a \left| b \right|, \\ b^m > 0,\quad m \in R \\ \end{array} $$
$$\quad $$ $$2\log _2 \frac{1}{6} - \log _2 \frac{1}{6} = \log _2 \left( {\frac{1}{6}} \right)^2 - \log _2 \frac{1}{6} = \log _2 \left( {\frac{1}{{36}} \cdot 6} \right) = \log _2 \frac{1}{6}$$ Свойства разности логарифмов с одинаковыми основаниями $$\quad $$ $$\log _a b - \log _a c = \log _a \frac{b}{c}$$
$$\quad $$ $$\log _{256} 32 = \log _{2^8 } 2^5 = 5 \cdot \frac{1}{8} \cdot \log _2 2$$ Свойства логарифма степени $$\log _{a^n } b^m $$ $$\quad $$ $$\begin{array}{l} \log _{a^n } b^m = m \cdot \frac{1}{n} \cdot \log _{\left| a \right|} \left| b \right|, \\ a \ne 0,\;a \ne 1,\;n \ne 0,\;b \ne 0 \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$\begin{array}{l} \log _7 36 \cdot \log _6 49 = \frac{{\log _a 36}}{{{\rm{ }}\log _a 7}} \cdot \frac{{\log _a 49}}{{{\rm{ }}\log _a 6}} = \\ = \frac{{\log _a 6^2 }}{{{\rm{ }}\log _a 7}} \cdot \frac{{\log _a 7^2 }}{{{\rm{ }}\log _a 6}} = 2 \cdot 2\frac{{\log _a 6}}{{{\rm{ }}\log _a 7}} \cdot \frac{{\log _a 7}}{{{\rm{ }}\log _a 6}} = 4 \\ \end{array}$$ Свойства логарифма перехода к новому основанию $$\quad $$ $$\begin{array}{l} \log _a b = \frac{{\log _c b}}{{\log _c a}},\; \\ a,b,c > 0;\;a,c \ne 1 \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$2\log _2 3 - \log _2 3 = \log _2 \left( 3 \right)^2 - \log _2 3$$ Свойства логарифма степени $$\log _a b^n $$ $$\quad $$ $$ \begin{array}{l} n \cdot \log _a b = \log _a b^n , \\ b > 0,\quad n \in R \\ \end{array}$$
$$\quad $$ $$\log _7 \left( {\frac{{ - c}}{{49}}} \right) = \log _7 \left| { - c} \right| - \log _7 49 = \log _7 c - 2$$ Свойства логарифмов $$\log _a \frac{b}{c}$$ $$\quad $$ $$\log _a \frac{b}{c} = \log _a \left| b \right| - \log _a \left| c \right|$$

Пример. Вычислите $$\log _5 0,0625 + 4\log _5 2$$

Решение: $$\log _5 0,0625 + 4\log _5 2 = \log _5 0,0625 + \log _5 2^4 = \log _5 \left( {0,0625 \cdot 16} \right) = \log _5 1 = 0$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Свойства произведения $$m \cdot \log _a b $$ числа m и логарифма $$\log _a b$$: $$m \cdot \log _a b = \log _a b^m$$
  • Свойства суммы $$\log _a b + \log _a c$$ логарифмов с одинаковыми основаниями: $$\log _a b + \log _a c = \log _a (b \cdot c)$$
  • Свойства логарифма числа 1: $$\log _a 1 = 0$$
2017-08-08 00:13:54