Введение вспомогательного угла для решения тригонометрических уравнений

Рассмотрим уравнение вида $$ a\sin x + b\cos x = c$$, где a, b, c - коэффициенты, x - неизвестное, $$ a \ne 0,\;\quad b \ne 0$$.
Разделим обе части этого уравнения на $$ \sqrt {a^2 + b^2 }$$.
Получим $$\frac{a}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}$$.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно:
модуль каждого из них не превосходит единицы, а сумма их квадратов равна 1.

Тогда можно обозначить их соответственно $$ \cos \varphi \;и\;\sin \varphi $$ (здесь $$ \varphi $$- вспомогательный угол)
и наше уравнение принимает вид: $$ \cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x = C$$,
где $$ \frac{a}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} = \cos \varphi ;\;\quad \frac{b}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} = \sin \varphi ;\quad \;\frac{c}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} = C$$.
Тогда $$ \sin (x + \varphi ) = C $$.

И его решение $$ x = ( - 1)^k \arcsin C - \varphi + \pi k,\;\quad k \in {\rm Z}$$,
где $$ \varphi = \arccos \frac{a}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} = \arcsin \frac{b}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} $$.

Заметим, что введенные обозначения $$ \cos \varphi \quad и\quad \sin \varphi $$ взаимно заменяемы.

Решить уравнение $$ \sqrt 3 \sin 3x - \cos 3x = 1 $$

Решение: Согласно теории $$ a = \sqrt 3 ;\;\quad b = - 1$$,
поэтому делим обе части уравнения на $$ \sqrt {3 + 1} = 2 $$.
$$ \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x - \frac{1}{2}\cos 3x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \frac{\pi }{6}\sin 3x - \sin \frac{\pi }{6}\cos 3x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}$$.

Решая последнее уравнение получим ответ:
$$ - \frac{\pi }{6} + 3x = ( - 1)^k \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\quad k \in {\rm Z} \Rightarrow x = ( - 1)^k \frac{\pi }{{18}} + \frac{\pi }{{18}} + \frac{{\pi k}}{3},\;\quad k \in {\rm Z}$$

2017-08-07 19:11:11