Тождественные преобразования многочленов

Тождественные преобразования многочленов и дробно-рациональных выражений:

  • приведение подобных слагаемых;
  • сокращение дробей;
  • разложение разности степеней на произведение суммы и разности меньшей степени;
  • разложение суммы и разности на сумму (разность) первых степеней;
  • возведение в степень суммы и разности;
  • разложение многочлена на множители с использованием его корней;
  • выделение полного квадрата из трехчлена;
  • понижение порядка многочлена путем замены аргумента.

Нестандартные преобразования.

1. Использование формулы: $$ \frac{1}{{a(a + d)}} = \frac{1}{d}\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{{a + d}}} \right)$$

Пример: $$ \frac{1}{{1 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{99 \cdot 101}} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - ... - \frac{1}{{101}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{101}}} \right)$$

2. Использование формулы сокращенного умножения:

Пример:$$ \left( {1 + b} \right)\left( {1 + b^2 } \right)\left( {1 + b^4 } \right)\left( {1 + b^8 } \right)\left( {1 + b^{16} } \right) = \frac{{\left( {1 - b} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + b^2 } \right)\left( {1 + b^4 } \right)\left( {1 + b^8 } \right)\left( {1 + b^{16} } \right)}}{{\left( {1 - b} \right)}} = \frac{{\left( {1 - b^{32} } \right)}}{{\left( {1 - b} \right)}}$$

3. Метод неопределенных коэффициентов:

Пример. Найти коэффициенты a и b из тождеств $$ \frac{{x - 5}}{{x^2 - x - 2}} = \frac{a}{{x + 1}} + \frac{b}{{x - 2}}$$

Решение: $$ \frac{{a(x - 2) + b(x + 1)}}{{(x + 1)(x - 2)}} = \frac{{(a + b)x + b - 2a}}{{x^2 - x - 2}}\quad \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b = 1 \\ b - 2a = - 5 \\ \end{array} \right.\quad \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{array} \right.$$

2017-01-14 01:06:24