Задачи на коцентрацию, смеси и сплавы

Очень часто в задачах на смеси и сплавы используются понятия объемной концентрации и массовой концентрации компонентов, составляющих раствор или сплав. Объемная (массовая) концентрация есть число, показывающее, какую долю всего объема (массы) составляет данный компонент.

Если сплав (раствор, смесь) имеет массу m и состоит из веществ A, B, C, массы которых соответственно $$m_A ,m_B ,m_C $$, то величины $$\frac{{m_A }}{m},\quad \frac{{m_B }}{m},\quad \frac{{m_C }}{m}$$ называют концентрацией веществ A, B, C, а величины $$\frac{{m_A }}{m} \cdot 100\% ,\quad \;\frac{{m_B }}{m} \cdot 100\% ,\quad \;\frac{{m_C }}{m} \cdot 100\% $$ - процентным содержанием веществ. При этом справедливо равенство $$\frac{{m_A }}{m} + \frac{{m_B }}{m} + \frac{{m_C }}{m} = 1$$.

Например, если имеется 40%-ный раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает <чистая> соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4. Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4 : 7, то $$\frac{4}{{11}}$$ массы всего этого сплава составляет свинец, а $$\frac{7}{{11}}$$ - медь, т. е., массовые концентрации свинца и меди в сплаве соответственно равны $$\frac{4}{{11}}$$ и $$\frac{7}{{11}}$$.

Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

  • Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.
  • Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами.
  • Составить математическую модель задачи и решить ее.
  • Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.

При решении задач на смеси часто путают проценты и доли, раствор и растворенное вещество. Необходимо помнить, что массовая доля $$\omega $$ находится делением значения процентной концентрации на 100%, а масса растворенного вещества K: $$m_K $$ равна произведению массы раствора P: $$m_P $$ на массовую долю: $$m_K = m_P \cdot \omega $$.

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, иллюстративные рисунки или вспомогательные таблицы.

Пример. Определите в каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор.

Решение. Возьмем х грамм а%-го раствора и у грамм b%-го раствора кислоты. Составим таблицу:

Концентрация раствора в %
Масса раствора в граммах
Масса кислоты в граммах
a
x
0,01xa
b
y
0,01yb
c
x + y
0,01(x + y)c

Составим и решим уравнение: 0,01ах + 0,01by = 0,01c(x + y) $$ \Rightarrow $$ (b - с)у = (с - а)х $$ \Rightarrow $$ x : у = (b - с) : (с - а).

Можно воспользоваться диагональной схемой:

схема В этой схеме а и b - концентрации исходных растворов, с - требуемая концентрация кислоты в процентах, а <крест-накрест> - записаны их разности (b - с) и (с - а), соответствующие отношению масс растворов а и b.
2017-08-07 22:19:06