Арифметическая прогрессия

Ключевые слова: прогрессия, арифметическая прогрессия, разность прогрессии, сумма n членов,характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, … , n – 1, n , … .
Если заменить каждое число n в этом ряду некоторым числом un , следуя некоторому закону,
мы получим новый ряд чисел: u1 , u2 , u3 , …, u n - 1 , u n , … ,
называемый числовой последовательностью.
Число un называется общим членом числовой последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

2, 4, 6, 8, 10, … , 2n, … ;

1, 4, 9, 16, 25, … , n , … ;

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … , 1/n , … .

Последовательность, у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:
an+1 = an + d, где d - разность прогрессии.

  • Если d > 0, то прогрессия является возрастающей. Если d < 0, то прогрессия является убывающей.
  • Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.

Формулы арифметической прогрессии:

  • an = a1 + d(n - 1) - формула n-го члена арифметической прогрессии;
  • 2an = an-1 + an+1 - характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех последовательных чисел;
  • an = ak + d(n - k) - формула нахождения n-го члена арифметической прогрессии через k -ый член прогрессии;
  • an + am = ak + al, - характеристическое свойство арифметической прогрессии для четырех произвольных чисел, если n + m = k + l.

    • Сумма n членов арифметической прогрессии:

  • $$S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2} \cdot n$$
  • $$S_n = \frac{{2a_1 + d(n-1)}}{2} \cdot n$$
См. также:
Геометрическая прогрессия