логин
пароль
 
Забыли пароль?

Числовые неравенства и их свойства

Ключевые слова: неравенство, равносильность, свойства числовых неравенств, действия с неравенствами, тождества

Числовым неравенством называется выражение вида $$a < b, a \le b, a > b, a \ge b$$,
где $$a \le b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a < b, \\ a = b. \end{array} \right.$$
и $$a \ge b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a > b, \\ a = b. \end{array} \right.$$.

Решить неравенство - значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.

Основные свойства.

  • a < b $$\Leftrightarrow$$ b > a
  • a < b и b < c $$\Leftrightarrow$$ a < c
  • a < b $$\Leftrightarrow$$ a + c < b + c или a - c < b - c
  • a < b и c < 0 $$\Leftrightarrow a \cdot c > b \cdot c $$ или $$\frac{a}{c}> \frac{b}{c}$$
  • a < b и c > 0 $$\Leftrightarrow a \cdot c < b \cdot c $$ или $$\frac{a}{c}< \frac{b}{c}$$
  • a + b > c $$\Leftrightarrow$$ a - c > - b
  • a >b $$\Leftrightarrow$$ - a < - b

Действия с неравенствами

  • a < b и c < d $$\Leftrightarrow$$ a + c < b + d
  • a < b и c > d $$\Leftrightarrow$$ a - c > b - d
  • a > b >0 и c > d >0 $$\Leftrightarrow a \cdot c > b \cdot d$$
  • a > b $$\Leftrightarrow a^{k}> b^{k}$$ или $$\root n \of {a} > \root n \of {b}$$, где a > 0, b > 0 и $$n, k \in N$$

Некоторые важные неравенства

  • |a + b| $$\le$$ |a| + |b|, где a и b произвольные числа
  • |a - b| $$\ge$$ |a| - |b|, где a и b произвольные числа
  • $$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{a \cdot b}, a > 0, b > 0$$
  • $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$$


См. также:
Метод интервалов, Модуль уравнения и неравенства