Модуль уравнения и неравенства

Ключевые слова: модуль, абсолютная величина, уравнение, неравенство

Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям относятся уравнения, решаемые одним из ниже приведенных равносильных переходов:

$$|f(x)| = k, k > 0 \Rightarrow f(x) = \pm k$$
 $$|f(x)| = - k, k > 0 \Rightarrow $$ - нет решения
$$|f(x)| = f(x) \Leftrightarrow f(x)\ge 0$$
 $$|f(x)| = - f(x) \Leftrightarrow f(x)\le 0$$
$$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = - g(x) \end{array} \right.$$
$$\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
g(x) \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = - g(x) \end{array} \right. \end{array} \right. $$
$$\left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right| = f(x) + g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{array} \right. $$
 $$\left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right| = f(x) - g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0 \\ g(x) \le 0 \end{array} \right. $$
$$\left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right| = \left| {f(x) + g(x)} \right| \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) \ge 0$$
 $$\left| {f(x)} \right| + \left| {g(x)} \right| = \left| {f(x) - g(x)} \right| \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) \le 0$$

Простейшие неравенства. К простейшим (не обязательно простым) неравенствам относятся неравенства, решаемые одним из ниже приведенных равносильных переходов:

$$\left| {f(x)} \right| > f(x) \Leftrightarrow f(x) < 0$$
$$\left| {f(x)} \right| \ge f(x) \Rightarrow$$ решение все $$x \in D(f)$$
$$\left| {f(x)} \right| \le f(x) \Leftrightarrow f(x) \ge 0$$
$$\left| {f(x)} \right| < f(x) \Rightarrow$$ нет решения
$$\left| {f(x)} \right| > g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} g(x) < 0 \\ \left\{ \begin{array}{l}
g(x) \ge 0 \\ f(x) > g(x) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0 \\ f(x) < - g(x) \end{array} \right.
\end{array} \right.$$
$$\left| {f(x)} \right| < g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g(x) > 0 \\ \left\{ \begin{array}{l}
f(x) > g(x) \\
f(x) > - g(x)
\end{array} \right.
\end{array} \right.$$

$$\left| {f(x)} \right| \ge \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow f^2 (x) \ge g^2 (x) \Leftrightarrow$$

$$\left( {f(x) - g(x)} \right) \left( {f(x) + g(x)} \right) \ge 0$$

$$\left| {f(x)} \right| \le \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow f^2 (x) \le g^2 (x) \Leftrightarrow$$

$$\left( {f(x) - g(x)} \right) \left( {f(x) + g(x)} \right) \le 0$$

Методы решения уравнений и неравенств, содержащих модуль

  • $$|x-a|+|x-b| = b - a , b \ge a \Leftrightarrow a \le x \le b$$
  • $$|x-a|-|x-b| = b - a , b \ge a \Leftrightarrow x \ge b$$
  • $$|f(x)| + a f^{2}(x)= k \Rightarrow |f(x)| + a |f(x)|^{2}= k$$. Замена: $$y =|f(x)|\Rightarrow y + ay^{2}= k$$
  • метод промежутков: Разобъем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет. Ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство.

См. также:
Модуль, Функция модуль