Уравнения вида $$
a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + ...+a_k x^{n - k} + ... + a_k x^k + ... + a_1 x + a_0 = 0$$, где коэффициенты членов, равно отстоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.
Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень x = -1.
Симметрическое уравнение четной степени 2n с помощью подстановки $$
u = x + \frac{1}{x}$$ сводится к уравнению степени n
Пример: Уравнение $$
2x^5 + 5x^4 - 13x^3 - 13x^2 + 5x + 2 = 0$$ степени 5 (нечетное число), тогда один из корней x = -1. .
Разделим левую часть уравнения на x+1 , получим симметрическое уравнение 4 степени.
Разделим обе части уравнения на $$
x^2
$$, введем замену $$u = x + \frac{1}{x}$$ и получим ответ: $$
- 1,\; - 2 \pm \sqrt 3 ,\;2,\;\frac{1}{2}$$.
Уравнения вида $$
a_0 x^{2n + 1} + a_1 x^{2n} + ... + a_n x^{n + 1} + a_{n + 1} x^n + ... + a_{2n} x + a_{2n + 1} = 0$$ называют возвратными уравнениями нечетной степени,
если $$\frac{{a_{2n + 1} }}{{a_0 }} = \lambda ^{n + 1} ,\quad \frac{{a_{2n} }}{{a_1 }} = \lambda ^n ,\quad \frac{{a_{n + 1} }}{{a_n }} = \lambda
$$, где $$
\lambda$$ - некоторое действительное число.
Уравнения вида $$
a_0 x^{2n} + a_1 x^{2n - 1} + ... + a_{n - 1} x^{n + 1} + a_n x^n + ... + a_{2n - 1} x + a_{2n} = 0$$ называют возвратными уравнениями четной степени,
если $$
\frac{{a_{2n} }}{{a_0 }} = \lambda ^n ,\quad \frac{{a_{2n - 1} }}{{a_1 }} = \lambda ^{n - 1} ,\quad \frac{{a_{n + 1} }}{{a_{n - 1} }} = \lambda$$, где $$
\lambda$$ - некоторое действительное число.
Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень $$
x = - \lambda
$$.
Возвратное уравнение четной степени 2n с помощью подстановки $$
u = x + \frac{\lambda }{x}$$ сводится к уравнению степени n
Пример: Уравнение $$3x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 4x + 12 = 0$$ степени 4 (четное число), разделим обе части уравнения на $$
x^2
$$, введем замену $$
u = x + \frac{2}{x}$$ и получим ответ: корней нет.
Уравнение вида $$
a_0 \left( {u\left( x \right)} \right)^n + a_1 \left( {u\left( x \right)} \right)^{n - 1} v\left( x \right) + ... + a_k \left( {u\left( x \right)} \right)^{n - k} \left( {v\left( x \right)} \right)^k + ... + a_n \left( {v\left( x \right)} \right)^n = 0$$ называют однородным уравнением степени n относительно $$
{u\left( x \right)}$$ и $$
v\left( x \right)$$.
Если обе части однородного уравнения разделить на $$
\left( {v\left( x \right)} \right)^n$$, применяя замену $$
t = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}$$
получим уравнение $$
a_0 t^n + a_1 t^{n - 1} + ... + a_k t^{n - k} + ... + a_n = 0$$
Пример: Уравнение $$
\left( {x - 3} \right)^2 \left( {x + 2} \right)^2 - \left( {x - 3} \right)\left( {x^2 - 4} \right) - 2\left( {x - 2} \right)^2 = 0
$$ после замены $$
u = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right),\quad v = x - 2$$,
сведется к однородному уравнению вида $$
u^2 - uv - 2v^2 = 0$$ и получим в ответе 1.