Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень x = -1.
Симметрическое уравнение четной степени 2n с помощью подстановки $$ u = x + \frac{1}{x}$$ сводится к уравнению степени n
Уравнения вида $$
a_0 x^{2n + 1} + a_1 x^{2n} + ... + a_n x^{n + 1} + a_{n + 1} x^n + ... + a_{2n} x + a_{2n + 1} = 0$$ называют возвратными уравнениями нечетной степени,
если $$\frac{{a_{2n + 1} }}{{a_0 }} = \lambda ^{n + 1} ,\quad \frac{{a_{2n} }}{{a_1 }} = \lambda ^n ,\quad \frac{{a_{n + 1} }}{{a_n }} = \lambda
$$, где $$
\lambda$$ - некоторое действительное число.
Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень $$ x = - \lambda $$.
Возвратное уравнение четной степени 2n с помощью подстановки $$ u = x + \frac{\lambda }{x}$$ сводится к уравнению степени n
Если обе части однородного уравнения разделить на $$
\left( {v\left( x \right)} \right)^n$$, применяя замену $$
t = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}$$
получим уравнение $$
a_0 t^n + a_1 t^{n - 1} + ... + a_k t^{n - k} + ... + a_n = 0$$