Пример 1. Решите неравенство $$ - x^2 - 5x + 6 \ge 0$$

Решение: $$ - x^2 - 5x + 6 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + 5x - 6 \le 0 \Rightarrow x^2 + 5x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = - 6,x_2 = 1$$ Квадратичная функция $$f(x) = x^2 + 5x - 6$$ пересекает ось OX в точках с координатами -6 и 1, при этом ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства $$x^2 + 5x - 6 \le 0$$ будет часть оси OX под которой расположена часть параболы, т.е. $$\left[ { - 6;1} \right]$$

Ответ: $$x \in \left[ { - 6;1} \right]$$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Теорема равносильности неравенств: $$f(x) > g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$$, если h(x)<0.
• Решение квадратного уравнения.
• Свойство квадратичной функции.
• Свойства решения квадратичного неравенства: $$ x^2 + px + q \le 0 $$

Пример 2. Решите неравенство $$ \left( {x^2 - 9} \right) \cdot \left( {2x - 3} \right) < 0 $$

Решение: Решим методом интервалов: Разложим на множители $$ \left( {x^2 - 9} \right) \cdot \left( {2x - 3} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) $$ . Решим уравнение и найдем его корни: $$ x = 3,\quad x = - 3,\quad x = 1,5 $$. Отметим на числовой оси корни уравнения в порядке возрастания и расставим знаки на интервалах, начиная от крайнего правого.

Ответ: $$ x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1,5;3} \right) $$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Формулы сокращенного умножения.
• Равносильность уравнений: $$ f(x) \cdot g(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = 0, \\ g(x) = 0. \\ \end{array} \right. $$
• Решение неравенств методом интервалов

Пример 3. Решите неравенство $$ \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {4 - x} \right)x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}} \le 0 $$

Решение: $$ \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {4 - x} \right)x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) \le 0; \\ \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0. \\ \end{array} \right.$$

Решим методом интервалов. Пусть $$ h(x) = \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) \le 0; \\ \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0. \\ \end{array} \right. $$. Корни выражения $$ h\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 3,\quad x = 4,\quad x = 0 $$. Точки разрыва выражения: x = 1, x = -3. Отметим на числовой оси корни уравнения в порядке возрастания и расставим знаки на интервалах, начиная от крайнего правого.

Ответ: $$ x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left[ {0;1} \right) \cup \left[ {3;4} \right] $$

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Стандартный вид одночлена.
• Равносильность неравенства: $$\frac{{f(x)}}{{g(x)}} \ge 0 \Leftrightarrow f(x) \cdot g(x) \ge 0,\quad g(x) \ne 0$$
• Равносильность уравнения: $$ f(x) \cdot g(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = 0, \\ g(x) = 0. \\ \end{array} \right. $$
• Алгоритм метода интервалов.