Ключевые слова: неравенство, равносильность, свойства числовых неравенств, действия с неравенствами, тождества
Числовым неравенством называется выражение вида $$a < b, a \le b, a > b,
a \ge b$$,
где $$a \le b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a < b, \\ a = b. \end{array} \right.$$
и $$a \ge b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a > b, \\ a = b. \end{array} \right.$$.
Решить неравенство - значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.
Основные свойства.
- a < b $$\Leftrightarrow$$ b > a
- a < b и b < c $$\Leftrightarrow$$ a < c
- a < b $$\Leftrightarrow$$ a + c < b + c или a - c < b - c
- a < b и c < 0 $$\Leftrightarrow a \cdot c > b \cdot c $$ или $$\frac{a}{c}> \frac{b}{c}$$
- a < b и c > 0 $$\Leftrightarrow a \cdot c < b \cdot c $$ или $$\frac{a}{c}< \frac{b}{c}$$
- a + b > c $$\Leftrightarrow$$ a - c > - b
- a >b $$\Leftrightarrow$$ - a < - b
Действия с неравенствами
- a < b и c < d $$\Leftrightarrow$$ a + c < b + d
- a < b и c > d $$\Leftrightarrow$$ a - c > b - d
- a > b >0 и c > d >0 $$\Leftrightarrow a \cdot c > b \cdot d$$
- a > b $$\Leftrightarrow a^{k}> b^{k}$$ или $$\root n \of {a} > \root n \of {b}$$, где a > 0, b > 0 и $$n, k \in N$$
Некоторые важные неравенства
- |a + b| $$\le$$ |a| + |b|, где a и b произвольные числа
- |a - b| $$\ge$$ |a| - |b|, где a и b произвольные числа
- $$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{a \cdot b}, a > 0, b > 0$$
- $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$$
См. также:
Метод интервалов, Модуль уравнения и неравенства