Рассмотрим равносильные переходы нескольких часто встречающихся стандартных неравенства содержащих переменную величину или выражение под знаком модуля. Все такие неравенства можно разделить на 8 видов.
$$ \left\{ \begin{array}{l} \left| x \right| < a; \\ a > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow - a < x < a $$
$$ \left\{ \begin{array}{l} \left| x \right| > a; \\ a > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > a \\ x < - a \\ \end{array} \right.$$
$$ \left\{ \begin{array}{l} ax^2 + b\left| x \right| + c > 0, \\ a > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| x \right| > x_2 = \frac{{ - b + \sqrt D }}{{2a}}; \\ \left| x \right| < x_1 = \frac{{ - b - \sqrt D }}{{2a}}. \\ \end{array} \right.$$
$$ \left\{ \begin{array}{l} ax^2 + b\left| x \right| + c < 0; \\ a > 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - b - \sqrt D }}{{2a}} = x_1 < \left| x \right| < x_2 = \frac{{ - b + \sqrt D }}{{2a}}$$
$$ \left| {f\left( x \right)} \right| \le g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \le g\left( x \right); \\ f\left( x \right) \ge - g\left( x \right). \\ \end{array} \right. $$
$$ \left| {f\left( x \right)} \right| \ge g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) \ge g\left( x \right); \\ f\left( x \right) \le - g\left( x \right). \\ \end{array} \right.$$
$$ \left| {f\left( x \right)} \right| \vee \left| {g\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow f^2 \left( x \right) \vee g^2 \left( x \right)$$
$$ \left| {f\left( x \right)} \right| + \left| {g\left( x \right)} \right| \vee c$$
Для неравенств последнего вида найти равносильное неравенство в общем виде трудно, поэтому рассмотрим, какие равносильные преобразования можно использовать в решении таких неравенств на конкретном примере.
Пример. Решить неравенство $$ \left| {x - 3} \right| + \left| {x + 4} \right| < 8 $$
Решение: Каждое выражение в модуле приравнивают к нулю, т.е. находят нули модулей $$ x - 3 = 0\; \Rightarrow x = 3$$ и $$ x + 4 = 0\; \Rightarrow x = - \,4 $$ Эти числа разделили множество действительных чисел на промежутки. На каждом промежутке определяем знак выражения стоящего под модулем и составляем таблицу знаков:
$$ \left( { - \infty ; - 4} \right) $$ |
-4 |
$$ \left( { - 4;3} \right) $$ |
3 |
$$ \left( {3; + \infty } \right) $$ |
|
$$ x - 3 $$ |
- |
-7 |
- |
0 |
+ |
$$ x + 4 $$ |
- |
0 |
+ |
7 | + |
На каждом промежутке с учетом знака выражения стоящего под модулем решаем три неравенства.
1) $$ x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \Rightarrow - \left( {x - 3} \right) - \left( {x + 4} \right) < 8 \Leftrightarrow x > - 4,5 \Rightarrow x \in \left( { - 4,5; - 4} \right) $$
2) $$ x \in \left( { - 4;3} \right) \Rightarrow - \left( {x - 3} \right) + \left( {x + 4} \right) < 8 \Leftrightarrow 7 < 8 $$ $$ \Rightarrow x \in \left( { - 4;3} \right) $$
3) $$ x \in \left( {3; + \infty } \right) \Rightarrow \left( {x - 3} \right) + \left( {x + 4} \right) < 8 \Leftrightarrow x < 3,5 \Rightarrow x \in \left( {3;3,5} \right) $$
Отдельно рассмотрим решение неравенства в точках, которые называются нули модулей: $$ x = - 4 \Rightarrow 7 < 8 $$ верное неравенство; $$ x = 3 \Rightarrow 7 < 8 $$ верное неравенство.
Ответ: $$ \left( { - 4,5;3,5} \right] $$