Системы нелинейных уравнений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Задания
Достаточные знания
$$\quad $$ $$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 3, \\ x^3 + x^2 y = 12. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3, \\ x^2 \left( {x + y} \right) = 12. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 3, \\ x^2 \cdot 3 = 12. \\ \end{array} \right.$$ Метод подстановки
$$\quad $$ $$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 5xy, \\ x - y = xy. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - y = xy, \\ 2x = 6xy. \\ \end{array} \right.$$ Метод алгебраического сложения
$$\quad $$ $$\left\{ \begin{array}{l} x + y + xy = 7, \\ \left( {x + y} \right)^2 - xy = 1 \\ \end{array} \right.\left| \begin{array}{l} x + y = a \\ xy = b \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b = 7 \\ a^2 - b = 1 \\ \end{array} \right.$$ Метод введения новых переменных
$$\quad $$ $$\left\{ \begin{array}{l} x + xy^3 = 9, \\ xy + xy^2 = 6. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\left( {1 + y^3 } \right) = 9, \\ xy\left( {1 + y} \right) = 6. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy\left( {1 + y} \right) = 6, \\ \frac{{x\left( {1 + y^3 } \right)}}{{xy\left( {1 + y} \right)}} = \frac{9}{6}. \\ \end{array} \right.$$ Метод почленного умножения и деления

Пример. Решить систему $$\left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 2} \right| - y = 0, \\ 2^{2x} - y = - 1. \\ \end{array} \right.$$ методом математического подбора.

Решение: $$\left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 2} \right| - y = 0, \\ 2^{2x} - y = - 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \left| {x - 2} \right|, \\ y = 2^{2x} + 1. \\ \end{array} \right.$$. Подбором находим решение системы (0; 2). Графически убедимся, что это решение единственное

графическое решение системы

решение системыДля решения используем последовательно знания следующих свойств:

  • Метод математического подбора.
  • Графический метод.
  • Свойство функции: $$y = \left| {x - a} \right| $$
  • Свойство функции: $$y = a^{kx} + b$$
  • График функции: $$y = \left| {x - a} \right|$$
  • График функции: $$y = a^{kx} + b$$