При решении уравнений и неравенств смешанного типа приходится применять свойства элементарных функций: область определения, область значений, монотонность, ограниченность, четность и нечетность, периодичность.

Ограниченность множества значений функции

Уравнение $$f(x) = g(x)$$ равносильно системе уравнений $$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = A; \\ g(x) = A. \\ \end{array} \right.$$, если для всех $$x \in X$$ справедливы неравенства $$f(x) \le A$$ и $$g(x) \ge A$$.

Монотонность функции

1) Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то уравнение $$f(x) = A$$ на множестве X имеет не более одного корня.

2) Если функция f возрастает (убывает), а функция g убывает (возрастает) на множестве X, то уравнение $$f(x) = g(x)$$ на множестве X имеет не более одного корня.

3) Если $$f(x)$$ - монотонно возрастающая функция, то уравнения $$f(x) = x$$ и $$f(f(x)) = x$$ равносильны.

Периодичность функции

1) Сумма двух функций с соизмеримыми периодами T₁ и T₂ является функция с периодом НОК(T₁,T₂).

2) Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами является непериодической функцией.

3) Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.