Графики обратных тригонометрических функций

Ключевые слова: обратная тригонометрическая функция, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции это математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

  • арксинус (обозначение: arcsin)
  • арккосинус (обозначение: arccos)
  • арктангенс (обозначение: arctg)
  • арккотангенс (обозначение: arcctg)
  • арксеканс (обозначение: arcsec)
  • арккосеканс (обозначение: arccosec)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга).
Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку.

Функция y = arcsin x
Дана функция y = sin x.
На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcsin x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — $$ \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$$. Так как для функции y = sin x на интервале $$ \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$$ каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция y = arcsin x, график которой симметричен графику функции y = sin x на отрезке $$\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$$ относительно прямой y = x.
 arcsinx
Функция y = arccos x
Дана функция y = cos x.
На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arccos x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения — [0;$$\pi$$]. На этом отрезке y = cos x строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0;$$\pi$$] существует обратная функция y = arccosx, график которой симметричен графику y = cos x на отрезке [0;$$\pi$$] относительно прямой y = x.
 arccosx
Функция y = arctg x
Дана функция y = tg x.
На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arctgx функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — $$\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$$. На этом отрезке y = tg x строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале $$\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$$ существует обратная функция y = arctg x, график которой симметричен графику y = tgx на отрезке $$\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$$ относительно прямой y = x.
 arctgx
Функция y = arcctg x
Дана функция y = ctg x.
На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcctg x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — (0;$$\pi$$). На этом отрезке y = ctg x строго возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0;$$\pi$$) существует обратная функция y = arcctg x, график которой симметричен графику y = ctg x на отрезке (0;$$\pi$$) относительно прямой y = x.
arcctgx

$$\alpha$$
0
 $$\frac{\pi}{6}$$
 $$\frac{\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{2\pi}{3}$$ $$\frac{2\pi}{3}$$ $$\frac{3\pi}{4}$$ $$\frac{5\pi}{6}$$ $$\pi$$
arcsin$$\alpha$$ 0
 $$\frac{1}{2}$$
 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
 1
 нет нет нет нет
arccos$$\alpha$$ 1
 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
 $$\frac{1}{2}$$ 0
 $$-\frac{1}{2}$$ $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
 $$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
 -1
arctg$$\alpha$$ 0
 $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$
 1
 $$\sqrt{3}$$
 нет нет нет нет нет
arcctg$$\alpha$$ нет
 $$\sqrt{3}$$
 1
 $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$
 0
 $$-\frac{1}{\sqrt{3}}$$
 -1
 $$-\sqrt{3}$$
 нет



См. также:
Обратные тригонометрические функции, Определение тригонометрических функций, Таблица значений, Формулы обратных триг функций