Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы

Рассмотрим стандартные логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании логарифма.

Способы решения этих неравенств:

рассматривают два случая: основание больше единицы и основание положительно и меньше единицы и решают совокупность двух систем;
используют обобщенный метод интервалов, заключающийся в приведении неравенства к виду $$ h(x) = \log _{g \left( x \right)} f\left( x \right) \vee 0 $$ (где символом <$$ \vee$$> обозначен один из знаков $$< ,\quad > ,\quad \le ,\quad \ge $$), разбиении D(h) нулями h(x) на несколько интервалов и определении знака h(x) на каждом интервале по ее знаку в одной из точек соответствующего интервала.
используют метод, основанный на замене функций. Напомним, что если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции h(x) соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции g(x), то неравенства p(x)h(x) $$ \vee$$ 0 и p(x)g(x) $$ \vee$$ 0 равносильны.

1. Неравенство вида $$ \log _{g \left( x \right)} f\left( x \right) \vee 0 $$

Решение: Решением неравенства $$ \log _{g \left( x \right)} f\left( x \right) \vee 0 $$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {g\left( x \right) - 1} \right) > 0; \\ f\left( x \right) > 0; \\ g\left( x \right) > 0; \\ g\left( x \right) \ne 1. \\ \end{array} \right. $$

2. Неравенство вида $$ \log _{g(x)} f(x) \vee b $$

Решение: Решением неравенства $$ \log _{g(x)} f(x) \vee b $$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {f(x) - g^b (x)} \right)\left( {g(x) - 1} \right) \vee 0 \\ f(x) > 0; \\ g(x) > 0; \\ g(x) \ne 1. \\ \end{array} \right. $$

Замечание. Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов: $$ \log _{g(x)} f(x) \vee b \Leftrightarrow \frac{{\ln f(x)}}{{\ln g(x)}} - b \vee 0 \Leftrightarrow \frac{{\ln f(x) - b\ln g(x)}}{{\ln g(x)}} \vee 0 \Leftrightarrow \frac{{\ln f(x) - \ln g^b (x)}}{{\ln g(x) - \ln 1}} \vee 0 $$. Воспользуемся методом замены функций и получим равносильную систему $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f(x) - g^b (x)}}{{g(x) - 1}} \vee 0 \\ f(x) > 0; \\ g(x) > 0; \\ g(x) \ne 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {f(x) - g^b (x)} \right)\left( {g(x) - 1} \right) \vee 0 \\ f(x) > 0; \\ g(x) > 0; \\ g(x) \ne 1. \\ \end{array} \right.$$

3. Неравенство вида $$ log_{h(x)} f(x) \vee \log _{h(x)} g(x) $$

Решение: Решением неравенства $$ log_{h(x)} f(x) \vee \log _{h(x)} g(x) $$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {f(x) - g(x)} \right)\left( {h(x) - 1} \right) \vee 0 \\ f(x) > 0; \\ g(x) > 0; \\ h(x) > 0; \\ h(x) \ne 1. \\ \end{array} \right. $$

Замечание. Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов: $$ \log _{h(x)} f(x) \vee \log _{h(x)} g(x) \Leftrightarrow \frac{{\ln f(x)}}{{\ln h(x)}} - \frac{{\ln g(x)}}{{\ln h(x)}} \vee 0 \Leftrightarrow \frac{{\ln f(x) - \ln g(x)}}{{\ln h(x)}} \vee 0 \Leftrightarrow \frac{{\ln f(x) - \ln g(x)}}{{\ln h(x) - \ln 1}} \vee 0$$. Воспользуемся методом замены функций и получим равносильную систему $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f(x) - g(x)}}{{h(x) - 1}} \vee 0 \\ f(x) > 0; \\ g(x) > 0; \\ h(x) > 0; \\ h(x) \ne 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {f(x) - g(x)} \right)\left( {h(x) - 1} \right) \vee 0 \\ f(x) > 0; \\ g(x) > 0; \\ h(x) > 0; \\ h(x) \ne 1. \\ \end{array} \right. $$

4. Неравенство вида $$ \log _{f(x)} h(x) \vee \log _{g(x)} h(x)$$

Решение: Решением неравенства $$ \log _{f(x)} h(x) \vee \log _{g(x)} h(x)$$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {h(x) - 1} \right)\left( {g(x) - f(x)} \right)\left( {f(x) - 1} \right)\left( {g(x) - 1} \right) \vee 0 \\ f(x) > 0; \\ g(x) > 0; \\ h(x) > 0; \\ g(x) \ne 1; \\ f(x) \ne 1. \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов: $$ \log _{f(x)} h(x) \vee \log _{g(x)} h(x) \Leftrightarrow \frac{{\ln h(x)}}{{\ln f(x)}} - \frac{{\ln h(x)}}{{\ln g(x)}} \vee 0 \Leftrightarrow \ln h(x) \cdot \left( {\frac{1}{{\ln f(x)}} - \frac{1}{{\ln g(x)}}} \right) \vee 0 \Leftrightarrow$$ $$ \ln h(x) \cdot \left( {\frac{1}{{\ln f(x)}} - \frac{1}{{\ln g(x)}}} \right) \vee 0 \Leftrightarrow \ln h(x) \cdot \frac{{\ln g(x) - \ln f(x)}}{{\ln f(x) \cdot \ln g(x)}} \vee 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {\ln h(x) - \ln 1} \right) \cdot \left( {\ln g(x) - \ln f(x)} \right)}}{{\left( {\ln f(x) - \ln 1} \right) \cdot \left( {\ln g(x) - \ln 1} \right)}} \vee 0$$. Воспользуемся методом замены функций и получим равносильную систему $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\left( {h(x) - 1} \right)\left( {g(x) - f(x)} \right)}}{{\left( {f(x) - 1} \right)\left( {g(x) - 1} \right)}} \vee 0 \\ f(x) > 0; \\ g(x) > 0; \\ h(x) > 0; \\ g(x) \ne 1; \\ f(x) \ne 1. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {h(x) - 1} \right)\left( {g(x) - f(x)} \right)\left( {f(x) - 1} \right)\left( {g(x) - 1} \right) \vee 0 \\ f(x) > 0; \\ g(x) > 0; \\ h(x) > 0; \\ g(x) \ne 1; \\ f(x) \ne 1. \\ \end{array} \right.$$

5. Неравенство вида $$ \log _{\varphi \left( x \right)} f\left( x \right) \cdot \log _{h\left( x \right)} g\left( x \right) < 0$$

Решение: Решением неравенства $$ \log _{\varphi \left( x \right)} f\left( x \right) \cdot \log _{h\left( x \right)} g\left( x \right) < 0$$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {\varphi \left( x \right) - 1} \right)\left( {g\left( x \right) - 1} \right)\left( {h\left( x \right) - 1} \right) \vee 0; \\ f\left( x \right) > 0; \\ \varphi \left( x \right) > 0; \\ \varphi \left( x \right) \ne 1; \\ g\left( x \right) > 0; \\ h\left( x \right) > 0; \\ h\left( x \right) \ne 1. \\ \end{array} \right.$$