Равносильные уравнения

Ключевые слова: уравнение, равносильность, эквивалентность, равносильные преобразования

Уравнения, имеющие одни и те же корни (в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корней совпадали), называют равносильными.
Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения x + 2 = 5 и x + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень - число 3.
Равносильны и уравнения x² +1 = 0 и 2x²+ 5 = 0 - ни одно их них не имеет корней.
Уравнения x - 5 = 1 и x² = 36 неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и -6.

Равносильные преобразования.

Если к обеим частям уравнения прибавить один и тот же многочлен от х, то получим уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

См. также:
Линейное уравнение, Квадратное уравнение