Функция корень

Ключевые слова: квадратный корень из числа, функция корень квадратный.

Квадратный корень из числа a — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен a, то есть решение уравнения x² = a относительно переменной x

Квадратный корень как элементарная функция

График функции $$y = \sqrt{x}$$

Квадратным корнем называют также функцию $$ \sqrt{x}$$ вещественной переменной x, которая каждому $$x\ge 0$$ ставит в соответствие арифметическое значение корня.

Эта функция является частным случаем степенной функции $$x^{\alpha}$$ с $$a = \frac{1}{2}$$.
Эта функция является гладкой при x > 0 , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Свойства функции $$y = \sqrt{x}$$

Область определения - луч $$[о;+\infty)$$.
Это следует из, того что выражение $$ \sqrt{x}$$ определено лишь при $$x \ge 0$$.
Функция $$y = \sqrt{x}$$ ни четна, ни нечетна.
Функция $$y = \sqrt{x}$$ возрастает на луче $$[о;+\infty)$$.

Свойства функции $$y = \root 3 \of {x}$$

Область определения функции $$y = \root 3 \of {x}$$ - вся числовая прямая
Функция $$y = \root 3 \of {x}$$ нечетна, так как $$\root 3 \of {-x}= - \root 3 \of {x}$$.
Функция $$y = \root 3 \of {x}$$ возрастает на всей числовой прямой.

Функция $$y = \root n \of {x}$$.

При четном n функция $$y = \root n \of {x}$$ обладает теми же свойствами, что и функция $$y = \sqrt{x}$$ и график ее напоминает график функции $$y = \sqrt{x}$$.
При нечетном n функция $$y = \root n \of {x}$$ обладает теми же свойствами. что и функция $$y = \root 3 \of {x}$$, и график ее напоминает график функции $$y = \root 3 \of {x}$$.

Степенная функция с положительным дробным показателем.

Степенная функция с положительным дробным показателем это функция, заданная формулой y = x^r, где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y = x^r:

Область определения - луч $$[о;+\infty)$$.
Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
Функция y = x^r возрастает на $$[о;+\infty)$$.

На пример график функции y = x^5/2, заключен между графиками функций y = x² и y = x³, заданных на промежутке
$$[о;+\infty)$$.
Подобный вид имеет любой график функции вида y = x^r, где r > 1, а график любой степенной функции y = x^r, где 0< r <1 имеет вид похожий на график y = x^2/3.

Степенная функция с отрицательным дробным показателем.

Степенная функция с отрицательным дробным показателем это функция, заданная формулой y = x ^{- r},
где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y = x ^{- r}:

Облать определения - промежуток $$(о;+\infty)$$.
Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
Функция y = x ^{- r} убывает на $$(о;+\infty)$$.
График функции y = x ^{- r} подобен ветке гиперболы, построенной на положительных значениях аргумента функции.