Решение иррациональных уравнений: методы, приемы, равносильные переходы

1. Уравнение вида $$ \sqrt {f(x)} = g(x) $$

Решение: Решением уравнения $$ \sqrt {f(x)} = g(x) $$ будет решение равносильной системы $$ \left\{ \begin{array}{l} g(x) \ge 0; \\ f(x) = g^2 (x). \\ \end{array} \right.$$

2. Уравнение вида $$ \sqrt {f(x)} \cdot g(x) = 0$$

Решение: Решением уравнения $$ \sqrt {f(x)} \cdot g(x) = 0$$ будет решение равносильной совокупности систем $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0; \\ g(x) - \,определена. \\ \end{array} \right. $$ или $$ \left\{ \begin{array}{l} g(x) = 0; \\ f(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. $$

Замечание. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

3. Уравнение вида $$ \sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)}$$

Решение: Решением уравнения $$ \sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)}$$ будет решение одной из равносильных систем $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x); \\ f(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.$$ или $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x); \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. $$

Замечание. Выбирается одна из равносильных систем, а именно, та в которой неравенство более простое.

4. Уравнение вида $$ \sqrt {f(x)} \cdot \sqrt {g(x)} = 0$$

Решение: Решением уравнения $$ \sqrt {f(x)} \cdot \sqrt {g(x)} = 0$$ будет решение равносильной совокупности систем $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0; \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.$$ или $$ \left\{ \begin{array}{l} g(x) = 0; \\ f(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.$$

Замечание. Равносильные переходы в решении уравнения $$ \sqrt {f(x)} \cdot \sqrt {g(x)} = 0$$: $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) \cdot g(x) = 0; \\ f(x) \ge 0; \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} f(x) = 0, \\ g(x) = 0; \\ \end{array} \right. \\ f(x) \ge 0; \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0; \\ g(x) \ge 0, \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} g(x) = 0; \\ f(x) \ge 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$ .

5. Уравнение вида $$ \sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}} = \sqrt[3]{{f(x) + g(x)}}$$

Решение: Решением уравнения $$ \sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}} = \sqrt[3]{{f(x) + g(x)}}$$ будет решение равносильной совокупности систем $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0; \\ f\;и\;g\, - \,определены. \\ \end{array} \right. $$ или $$ \left\{ \begin{array}{l} g(x) = 0; \\ f\;и\;g\, - \,определены. \\ \end{array} \right. $$ или $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x) + g(x) = 0; \\ f\;и\;g\, - \,определены. \\ \end{array} \right.$$.

6. Уравнение вида $$ \sqrt[n]{{a - f(x)}} + \sqrt[n]{{b + f(x)}} = g(x)$$

Решение: Решение уравнения $$ \sqrt[n]{{a - f(x)}} + \sqrt[n]{{b + f(x)}} = g(x)$$ после замены переменных $$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[n]{{a - f(x)}} = h\,\,\, \ge 0; \\ \sqrt[n]{{b + f(x)}} = t\,\,\, \ge 0. \\ \end{array} \right. $$ сводится к решению системы алгебраических уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} h + t = g(x); \\ h^n + t^n = a + b. \\ \end{array} \right.$$.

7. Уравнение вида $$ \sqrt {f(x) + a} \pm \sqrt {f(x)} = b$$

Решение: Решение уравнения $$ \sqrt {f(x) + a} \pm \sqrt {f(x)} = b$$ сводится к решению иррационального уравнения вида $$ \sqrt {f(x) + a} = \frac{{b^2 + a}}{{2b}} $$.

Замечание. Обе части уравнения $$ \sqrt {f(x) + a} \pm \sqrt {f(x)} = b$$ умножаются на выражение $$ \sqrt {f(x) + a} \mp \sqrt {f(x)}$$, сопреженное с одной частью уравнения. Сложение исходного и полученного уравнений, приводит к решениию простейшего иррационального уравнения. Проверка обязательна.

Замечание. При возведении иррационального уравнения в четную степень происходит неравносильный переход и поэтому нужна всегда проверка. А при возведении иррационального уравнения в нечетную степень происходит равносильный переход и поэтому не нужна проверка.