Область допустимых значений (ОДЗ)

Область допустимых значений (ОДЗ). Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, вхходящих в это выражение.

Решать уравнения можно по схеме:

  1. Найти ОДЗ, то есть решить соответствующие неравенства и выписать в явном виде, на каком числовом множестве имеет смысл данное уравнение.
  2. Решить уравнение с помощью тех или иных преобразований.
  3. Проверить, принадлежит ли корни данного уравнения ОДЗ.
Рассмотрим примеры, в которых неоднозначно представлена ОДЗ

Пример 1. Решите уравнение $$ \sqrt { - x^5 + x^2 + 1} = x + 1$$

Решение: ОДЗ определяется из условия: $$ - x^5 + x^2 + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x^5 - x^2 - 1 \le 0$$. Такое неравенство можно решать только приближенно. Поэтому не определяя ОДЗ начнем решать иначе: $$ \sqrt { - x^5 + x^2 + 1} = x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x^5 + x^2 + 1 = \left( {x + 1} \right)^2 , \\ x + 1 \ge 0 \\ \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^5 + 2x = 0, \\ x \ge - 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\left( {x^4 + 2} \right) = 0, \\
x \ge - 1 \\ \end{array} \right. $$

Ответ: 0

Замечание: Иногда найти ОДЗ труднее, чем решить уравнение, а может быть, и вовсе невозможно.Решение уравнение было возможно без нахождения ОДЗ и корень уравнения проверяется простой подстановкой.

Пример 2. Решите уравнение $$ \sqrt {2x - 1} = - x $$

Решение: ОДЗ получим из $$ 2x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}$$ . Возведя обе части уравнения в квадрат получим ход решения: $$ \sqrt {2x - 1} = - x \Leftrightarrow 2x - 1 = x^2 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$. Полученный корень входитв ОДЗ уравнения, но припроверке устанавливается, что это число не является корнем данного уравнеия.

Ответ: нет коней

Замечание:То, что найденные корни входят в ОДЗ, вовсе не гарантирует, что они удовлетворяют исходному уравнению, даже если все преобразования выполнены верно. Нахождение ОДЗ в решении было не безполезно. Если изменить рассуждения, то получим: поскольку $$2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow - x \le - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow \sqrt {2x - 1} < 0$$ , что противоречит определению арифметического квадратного корня.

Пример 3 . Решите уравнение $$ \sqrt {5 - x} = \sqrt[4]{{x - 5}} + \lg \left( {x - 3} \right)$$

Решение: ОДЗ данного уравнения определяется условиями $$ \left\{ \begin{array}{l} x \ge 5 \\ x \le 5 \\ x > 3 \\ \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow x = 5 $$ . Проверка показывает, что x = 5 корень уравнения.

Ответ: 5
Замечание: Иногда использование ОДЗ полезно, поскольку дает возможностьбыстро решать уравнение. В этом примере решение было получено толбко из определения ОДЗ.