Ключевые слова: иррациональные уравнения, метод уединения радикала, возведение в нечетную степень

Иррациональным называют уравнение вида $$\root n \of {f(x)}=g(x),n \in N, n \ne 1$$.

Основной метод решения иррациональных уравнений – метод уединение радикала:

1. При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени:
Проверка полученных решений (x₁, x₂, …) путем их подстановки в исходное уравнение:
• если исходное уравнение превращается в верное равенство, то полученные значения являются корнями уравнения;
• если исходное уравнение превращается в неверное равенство, то полученные значения являются посторонними корнями уравнения
Введение ограничения на неизвестную в виде условия $$g(x)\ge 0$$ :
• условие неотрицательности правой части исходного уравнения, поскольку его левая часть по определению корней четной степени неотрицательна;
• при введении ограничения на неизвестную величину исходного уравнения $$\root 2k \of {f(x)}=g(x)$$ сводится к решению системы $$\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = g^{2k} (x); \\
g(x) \ge 0.
\end{array} \right.$$
2. При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.