Ключевые слова: движение, уравнение, производная, путь, скорость, ускорение

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке
$$\Delta f = f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})$$ к приращению аргумента $$\Delta x$$
при $$\Delta x \to 0$$: $$f'(x_{0}) = lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}}$$.

Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси x и ее координата изменяется по закону S(t),
то мгновенная скорость точки находиться по формуле
$$v(t) = lim_{\Delta t \to 0}{\frac{S(t + \Delta t) - S(t)}{\Delta t}} = S'(t)$$,
а ускорение по формуле
$$a(t) = lim_{\Delta t \to 0}{\frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{\Delta t}} = v'(t) = S''(t)$$.

Итак:

См. также:
Правила вычисления производной функции, Производные элементарных функций