Решая квадратные неравенства, мы использовали метод интервалов. Покажем, что методом интервалов можно решать рациональные и дробно-рациональные неравенства.

Рассмотрим неравенство вида $$f\left( x \right) \vee 0 $$, где символ $$\vee $$ можно заменить одним из знаков сравнения: $$ < ,\quad \; > ,\;\quad \le ,\;\quad \ge $$ и $$ f\left( x \right) $$- рациональное выражение областью определения, которой является множество действительных чисел.

а) Разложить выражение $$ f\left( x \right) $$ на множители канонического вида (количество множителей может быть любым, но обязательно в разностях каждого множителя всегда является уменьшаемым и коэффициенты при переменной должны быть положительными). Пусть, например, $$ f\left( x \right) = \left( {x - a} \right) \cdot \left( {x - b} \right) \cdot \left( {x - c} \right) \cdot \left( {x - d} \right)$$, где $$ D\left( f \right) = \left( { - \infty ; + \infty } \right) $$.

б) Найти все корни выражения, решив уравнение $$ f\left( x \right) = 0$$. В нашем случае будут корни $$ x = a,\quad x = b,\quad x = c,\quad x = d $$.

в) Отметить на числовой оси корни уравнения в порядке возрастания. Мы отмечаем числа $$ a,\;b,\;c,\;d $$. Пусть для удобства $$b < a < c < d$$. Эти числа разбивают числовую ось на 5 интервалов. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет знак, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.

г) Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак <+> и далее знаки чередуются.

д) Выписать ответы неравенства в виде интервалов по схеме:

• Если $$ f\left( x \right) < 0 $$, то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение $$ f\left( x \right) $$ сохраняет знак <->, а граничные точки интервалов не входят в ответ, так как знак сравнения неравенства строгий. В нашем случае ответ $$ x \in \left( {b;a} \right) \cup \left( {c;d} \right)$$.
• Если $$ f\left( x \right) > 0 $$, то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение $$ f\left( x \right) $$ сохраняет знак <+>, а граничные точки интервалов не входят в ответ, так как знак сравнения неравенства строгий. В нашем случае ответ $$ x \in \left( { - \infty ;b} \right) \cup \left( {a;c} \right) \cup \left( {d; + \infty } \right) $$.
• Если $$f\left( x \right) \le 0$$, то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение $$ f\left( x \right) $$ сохраняет знак <->, а граничные интервалов точки входят в ответ, так как знак сравнения неравенства не строгий. В нашем случае ответ $$ x \in \left[ {b;a} \right] \cup \left[ {c;d} \right]$$.
• Если $$ f\left( x \right) \ge 0$$, то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение $$ f\left( x \right) $$ сохраняет знак <+>, а граничные точки интервалов входят в ответ, так как знак сравнения неравенства не строгий. В нашем случае ответ $$ x \in \left( { - \infty ;b} \right] \cup \left[ {a;c} \right] \cup \left[ {d; + \infty } \right) $$.