Правила дифференцирования

Ключевые слова: дифференцируемая функция, свойство предела произведения, дифференцируема в точке

Если функции f и g дифференцируемы в точке $$x_{0}$$ то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если $$g'(x_{0}) \ne 0$$) этих функций, причем

  1. $$(f + g)' = f' + g'$$
  2. $$(f \cdot g)'= f' \cdot g + f \cdot g'$$
  3. $$(\frac{f}{g})' = \frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^{2}}$$

Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: (Cf)' = Cf'. В частности, С'=0

  • Если f дифференцируема,
    то $$f^{n}$$ где $$n \in N$$ также дифференцируема, причем $$(f^{n})'= nf^{n-1}f'$$

  • Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки $$x_{0}$$ причем $$f'(x_{0}) \ne 0$$,
    то функция x = $$\phi$$ (y),обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке $$y_{0}$$ = f ($$x_{0}$$), причем $$\phi'(x_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})}$$.

  • Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках $$x_{0}$$ и $$y_{0}$$ = f ($$x_{0})$$ соответственно,
    то сложная функция z = g ( f (x)) дифференцируема в точке x 0, причем $$z'(x_{0}) = g'(y_{0}) \cdot f'(x_{0})$$.

  • Дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид $$dy = f'(x)dx$$ как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.

  • Если f (x) – четная функция, то $$f'(x)$$ – нечетная; если f (x ) – нечетная функция, то \(f'(x)\) – четная.

  • Пусть в окрестности точки t 0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна.
    Пусть в этой окрестности существуют производные $$x'(t_{0}) \ne 0$$ и $$y'(t_{0})$$
    Тогда сложная функция y = y ( t ( x )), где t ( x ) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x , причем $${dy \over dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$$.