Степенная функция

Ключевые слова: функция, степенная функция, график, степень, область определения, область значения, монотонно возрастает, монотонно убывает,

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x ⁿ, x > 0.

Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси.
Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x .

К основным свойствам степенной функции y = x ^aпри a > 0 относятся:

Область определения функции - промежуток (0; +$$ \infty $$ ).
Область значений функции - промежуток (0; +$$ \infty $$).
Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ < a^r₂ .
График степенной функции при a > 0 изображен на рисунке.

К основным свойствам степенной функции y = x ^aпри a < 0 относятся:

Область определения функции - промежуток (0; +$$ \infty $$).
Область значений функции - промежуток (0; +$$ \infty $$).
Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ > a^r₂ .
График степенной функции при a < 0 изображен на рисунке.
Справедливы следующие свойства степенной функции:
- x^a₁x^a₂ = x^{a₁ + a₂}
- x^a₁ : x^a₂ = x^{a₁ - a₂}
- (x^a₁)^a₂ = x^{a₁ a₂}
- x^a₁ > x^a₂, x > 1, a₁ > a₂
- x^a₁ < x^a₂, 0 < x < 1, a₁ < a₂

См. также:
Степень, Свойства элементарных функций, Исследование графика функции, Функция корень