Правильный многоугольник

Ключевые слова: многоугольник, правильный многоугольник, сторона, угол, вписанная, описанная окружность

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.

Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

prav_mnogeuol


Свойства правильного многоугольника.
  • Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают
  • Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей.
  • Сторона an правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой $$a_{n} = 2Rsin\frac{180^\circ}{n}= 2Rsin\frac{\pi}{n}$$.
  • Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей.

bid

Формулы
  • Пусть R — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен $$r = R \cdot cos\frac{\pi}{n}$$, а длина стороны многоугольника равна $$a = 2R \cdot sin\frac{\pi}{n}$$.
  • Площадь правильного многоугольника с числом сторон n и длиной стороны a составляет $$S = \frac{n}{4}a^{2} \cdot ctg\frac{\pi}{n}$$.
  • Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, вписанного в окружность радиуса R составляет $$S = \frac{n}{2}R^{2} \cdot sin\frac{2\pi}{n}$$.
  • Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, описанного вокруг окружности радиуса r составляет $$S = nr^{2} \cdot tg\frac{\pi}{n}$$.



См. также:
Вписанная окружность, Описанная окружность, Выпуклый четырёхугольник, Произвольный выпуклый многоугольник