Решение треугольников

Ключевые слова: треугольник, угол, косинус, прямоугольный треугольник, теорема косинусов, теорема синусов, решение треугольников

Решение прямоугольных треугольников

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем

$$\angle A + \angle B = 90^\circ$$;
a² + b² = c²;
$$sin\angle A =\frac{a}{c}, sin\angle B = \frac{b}{c}$$;
$$cos\angle A =\frac{b}{c}, cos\angle B = \frac{a}{c}$$;
$$tg\angle A =\frac{a}{b}, tg\angle B = \frac{b}{a}$$;
$$ctg\angle A =\frac{b}{a}, ctg\angle B = \frac{a}{b}$$

Решение произвольных треугольников

Для решения произвольных треугольников существует теорема косинусов и теорема синусов.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Формула $$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2b \cdot c \cdot cos\angle A$$ ( или формула $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2a \cdot c \cdot cos\angle B$$ или формула $$c^{2} = b^{2} + a^{2} - 2b \cdot a \cdot cos\angle C$$) позволяет вычислить длину одной из сторон треугольника по данным длинам двух других сторон и величине угла, лежащей против неизвестной стороны.
Теорема косинусов позволяет также по даннм величинам сторон треугольника вычислить величины его углов:
$$cos\angle A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2b \cdot c}$$; $$cos\angle B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2a \cdot c}$$; $$cos\angle C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2a \cdot b}$$.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорционально синусам противоположных углов $$\frac{a}{sin\angle A}= \frac{b}{sin\angle B}= \frac{c}{sin\angle C}$$, где a, b, c - стороны треугольника.

Теорема синусов позволяет по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам) вычислить остальные элементы треугольника.

См. также:
Площадь треугольника, Прямоугольный треугольник, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник