Равнобедренный треугольник

Ключевые слова: треугольник, равнобедренный, боковая сторона, основание, вершина

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой.

По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное, вообще говоря, неверно.

treyg
Свойства
  • Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.
  • Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
  • Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой.
  • Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
  • Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).
Признаки
  • Два угла треугольника равны.
  • Высота совпадает с медианой.
  • Высота совпадает с биссектрисой.
  • Биссектриса совпадает с медианой.

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, $$\alpha, \beta$$ — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Соотношения для сторон:

  • $$a = 2R \cdot sin\alpha, b = 2R \cdot sin\beta$$ (теорема синусов );
  • $$a = \frac{b}{2 cos\alpha}$$ (следствие теоремы косинусов);
  • $$b = a\sqrt{2(1 - cos\beta)}$$ (следствие теоремы косинусов);
  • $$b = 2a \cdot cos\alpha$$ (теорема о проекциях).
Соотношения для углов:
  • $$\alpha = \frac{\pi - \beta}{2}$$;
  • $$\beta = \pi - 2\alpha$$;
  • $$\alpha = arcsin\frac{a}{2R}, \beta = arcsin\frac{b}{2R}$$.
Соотношения для периметра:
  • P = 2a + b (по определению);
  • $$P = 2R(2sin \alpha + sin\beta)$$.

Соотношения для площади:

  • $$S = \frac{1}{2}a^{2}sin\beta = \frac{1}{2}absin \alpha$$;
  • $$S = \frac{1}{2}b\sqrt{a^{2}- \frac{1}{4}b^{2}}$$ (формула Герона).



См. также:
Прямоугольный треугольник, Равносторонний треугольник, Площадь треугольника

2017-08-07 22:30:30