Декартовы координаты вектора в пространстве

Ключевые слова: вектор, координаты, длина вектора

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),
точка их пересечения O – началом координат,
а плоскости xOy, xOz и yOzкоординатными плоскостями.
Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.

Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.

Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).

vektor

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.

  • Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается $$\vec i$$.
  • Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается $$\vec j$$.
  • Единичный вектор, направленный вдоль оси z, обозначается $$\vec k$$.

Вектора $$\vec i$$, $$\vec j$$, $$\vec k$$ называются координатными векторами.

  • Любой вектор $$\vec a$$ можно разложить по координатным векторам: $$\vec a = x \cdot \vec i+y \cdot \vec j+z \cdot k$$.
  • Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора $$\vec a$$ в данной системе координат.
ralo_vekor

Свойства векторов, заданных координатами

  • Координаты нулевого вектора равны нулю.
  • Координаты равных векторов соответственно равны.
  • Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.
  • Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.
  • Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.

Формулы


    Угол между векторами: $$\vec a(x_{a};y_{a};z_{a}), \quad \vec b(x_{b};y_{b};z_{b}) \Rightarrow cos\gamma = \frac{x_{a} \cdot x_{b}+ y_{a} \cdot y_{b}+ z_{a} \cdot z_{b}}{\sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}} \cdot \sqrt{x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}}}$$

    Перпендикулярность векторов: $$\vec a(x_{a};y_{a};z_{a}), \quad \vec b(x_{b};y_{b};z_{b}) \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = 0 \Leftrightarrow
    x_{a} \cdot x_{b}+ y_{a} \cdot y_{b}+ z_{a} \cdot z_{b}= 0$$

    Коллинеарность векторов: $$\vec a(x_{a};y_{a};z_{a}), \quad \vec b(x_{b};y_{b};z_{b}) \Rightarrow \frac{x_{a}}{x_{b}}=\frac{y_{a}}{y_{b}}=\frac{z_{a}}{z_{b}}$$ если координаты векторов не равны нулю.

    См. также:
    Декартова система координат, Скалярное произведение, Сумма разность векторов

    2017-08-08 00:47:08