Биссектриса

Ключевые слова:биссектриса, треугольник, угол

Биссектриса угла - это луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.

Биссектриса угла (вместе с ее продолжением) есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (или их продолжений).

Биссектриса угла треугольника - это отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

  • Любая из трех биссектрисс внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
  • Биссектриса угла треугольника может обозначать одно из двух: луч — биссектриса этого угла или отрезок биссектрисы этого угла до ее пересечения со стороной треугольника.

Свойства биссектрис

bicektrica_1
bicektrica_3

  • Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
  • Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.
  • Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то $$\frac{BD}{AD} = \frac{BC}{AC}$$.
  • Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.
  • Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
  • Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.

Формулы

bicektrica_2

$$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b}{c}$$

$$l_{a}= \frac{\sqrt{cb(b+c+a)(b+c-a)}}{c+b}$$

$$l_{a}= \frac{2b \cdot c \cdot cos\frac{\alpha}{2}}{c+b} $$

$$l_{a}= \frac{h_{a}}{cos{\frac{\beta - \gamma}{2}}}$$

$$l_{a}= \sqrt{b \cdot c - a_{1} \cdot a_{2}}$$

Обозначения:
la — биссектриса, проведенная к стороне a,
a,b,c — стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,
al,a 2 — отрезки, на которые биссектриса lc делит сторону c,
$$\alpha,\beta,\gamma$$ — внутренние углы треугольника при вершинах a, b, c соответственно,
ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.



См. также:
Прямоугольный треугольник, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник, Средняя линия, Углы на плоскости, Медиана.

2017-08-07 19:10:13