Действие над векторами и их свойства

Ключевые слова: вектор, сумма, разность векторов, координаты вектора

Вектор - это направленный отрезок.

Суммой векторов $$\overrightarrow {a}(a_{1};a_{2})$$ и $$ \overrightarrow {b}(b_{1};b_{2})$$ называется вектор $$\overrightarrow c \left( {a_1 + b_{1} ;a_2 + b_{2} } \right)$$,
т.е. $$\overrightarrow a \left( {a_1 ;a_2 } \right) + \overrightarrow b \left( {b_{1} ;b_{2} } \right) = \overrightarrow c \left( {a_1 + b_{1} ;a_2 + b_{2} } \right)$$.

Для любых векторов $$\overrightarrow {a}(a_{1};a_{2})$$ и $$ \overrightarrow {b}(b_{1};b_{2})$$ справедливы равенства:

  • переместительный закон: $$\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b} = \overrightarrow {b} + \overrightarrow {a}$$;
  • сочетательный закон: $$\overrightarrow {a} + (\overrightarrow {b} + \overrightarrow {c}) = (\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b}) + \overrightarrow {c}$$;
  • из переместительного и сочетательного законов следует, что, складывая любое число векторов, можно как угодно переставлять и группировать слагаемые.

Каковы бы ни были три точки A , B и C , имеет место векторное равенство $$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$$

Правило треугольника: Свойство дает следующий способ построения суммы произвольных векторов $$\overrightarrow {a}$$ и $$\overrightarrow {b}$$. Надо от конца вектора $$\overrightarrow {a}$$ отложить вектор равный вектору $$\overrightarrow {b}$$. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора $$\overrightarrow {a}$$, а конец - с концом вектора $$\overrightarrow {b}$$, будет суммой векторов $$\overrightarrow {a}$$ и $$\overrightarrow {b}$$.

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Разностью векторов $$\overrightarrow {a}(a_{1};a_{2})$$ и $$ \overrightarrow {b}(b_{1};b_{2})$$ называют такой вектор $$\overrightarrow {c}(c_{1}c_{2})$$, который в сумме с вектором $$ \overrightarrow {b}(b_{1};b_{2})$$ дает вектор $$\overrightarrow {a}(a_{1};a_{2})$$. Таким образом: $$\overrightarrow {c}(c_{1}c_{2})$$ + $$ \overrightarrow {b}(b_{1};b_{2})$$ = $$\overrightarrow {a}(a_{1};a_{2})$$, откуда c1 = a1 - b1 и c2 = a2 - b2.

Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими из одной точки; дополнить чертеж отрезком так. чтобы получился треугольник; придать отрезку направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором разности.

Произведением вектора $$\overrightarrow {a}(a_{1};a_{2})$$ на число $$\lambda$$ называется вектор $$ \overrightarrow {b}(b_{1};b_{2})$$, такой что
b1 = $$\lambda$$a1 и b2 = $$\lambda$$a2. т.е. $$\lambda \overrightarrow {a}(a_{1};a_{2}) = \overrightarrow {b}(\lambda a_{1};\lambda a_{2})$$.

Для любых векторов $$\overrightarrow {a}(a_{1};a_{2})$$, $$ \overrightarrow {b}(b_{1};b_{2})$$ и чисел $$\lambda$$, $$\mu$$ справедливы два распределительных закона:

  • $$( \lambda + \mu )\overrightarrow {a} = \lambda \overrightarrow {a} + \mu \overrightarrow {a}$$
  • $$\lambda(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \lambda \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}$$

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:
$$S = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow {b}| \cdot cos \phi$$, если угол между векторами равен $$\phi$$.

  • Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то их скалярное произведение равно 0: $$S = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$
  • Если векторы $$\overrightarrow {a}$$ и $$\overrightarrow {b}$$ равны, то $$S = (\overrightarrow{a}) ^{2}$$ и говорят о скалярном квадрате вектора.В этом случае $$cos \phi = 1$$, т.е. $$S = |\overrightarrow {a}|^{2}$$. Итак, скалярный квадрат вектора совпадает и квадратом его длины: $$(\overrightarrow{a}) ^{2} = |\overrightarrow {a}|^{2}$$.
  • Если векторы $$\overrightarrow {a}$$ и $$\overrightarrow {b}$$ перпендикулярны, то $$S = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$. Векторы $$\overrightarrow {a}$$ и $$\overrightarrow {b}$$ перпендикулярны в том и только в т ом случае, когда их скалярное произведение равно нулю.

Для любых векторов $$\overrightarrow {a}$$, $$\overrightarrow {b}$$, $$\overrightarrow {c}$$ и числа $$\lambda$$ справедливы равенства:

  • $$(\lambda \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b}) = \lambda(\overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b})$$
  • $$\overrightarrow {a}(\overrightarrow {b} + \overrightarrow {c}) = \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {b} + \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {c}$$.

Аналогично рассматриваются вектора и в пространстве.


См. также:
Декартова система координат, Координаты вектора, Перпендикулярность векторов