Треугольник

Ключевые слова: треугольник, сумма углов, неравенство треугольника, сторона треугольника, угол

mediana treyg

Неравенство треугольника. Стороны треугольника нельзя задавать произвольно, они связаны следующими неравенствами

  • a < b + c
  • b < c + a
  • c < a + b
Признаки равенства треугольников. Треугольник однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов:
  • a, b, c (равенство по трём сторонам);
  • a, b, $$\gamma$$ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
  • a, $$\beta, \gamma$$ (равенство по стороне и двум прилежащим углам).

Отрезки и окружности, связанные с треугольником

  • Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.
  • Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.
  • Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
    Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидром или центром тяжести треугольника.
    Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.
  • Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение, называется высотой треугольника.
    Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
  • Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам.
    Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

    nebpicanna
    • В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
    • Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведенная из нее, лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
    • Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
    • Вневписанной окружностью называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон.
    • Середины трех сторон треугольника, основания трех его высот и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек.
    • В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Соотношения в треугольнике

Теорема синусов
 Теорема косинусов
Теорема о сумме углов треугольника
$$\frac{a}{sin\alpha}= \frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin\gamma}= 2R $$
 c2 = a2 + b2 — 2ab cos $$\gamma$$
$$\alpha+\beta+\gamma$$ = 180° = $$\pi$$

Прочие соотношения (Метрические соотношения в треугольнике приведены для треугольника ABC):

$$\frac{a}{b}= \frac{a_{l}}{b_{l}}$$ $$m_{c} = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^{2} + b^{2}) - c^{2}}$$
$$h_{c} = b \cdot sin\alpha = a \cdot sin\beta = \frac{2S}{c}$$
$$d^{2}= R^{2}- 2Rr$$
$$l_{c}= \frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}= \sqrt{ab-a_{l}b_{l}} = \frac{2abcos\frac{\gamma}{2} }{a+b}$$
 $$\frac{r}{R}= 4sin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}= cos\alpha +cos\beta + cos\gamma -1$$

    Площадь треугольника

    $$S = \frac{1}{2}bh_{b}$$
    		$$S = \frac{1}{2}basin \gamma$$
    		$$S = \frac{abc}{4R}$$
    		$$S = r^{2}+2rR$$, для прямоугольного треугольника
    $$S = \frac{1}{2}r(a+b+c) =pr = (p-b)r_{b}$$
    		$$S = 2R^{2}sin\alpha sin\beta sin\gamma$$
    		$$S =\frac{a^{2}sin \beta sin \gamma}{2sin \alpha}$$

    $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b-c)} $$
    		$$S = \frac{1}{2}(x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+ x_{C}(y_{A}-y_{B}))$$ , в данной формуле следует обратить внимание на обход вершин, если идти по часовой стрелке, то получится та же площадь, но с отрицательным знаком

    Обозначения:

    1. $$l_{a}, l_{b}, l_{c}$$ — соответственно биссектрисы углов A, B и C,
    2. $$a_{l},b_{l}$$ — отрезки, на которые биссектриса $$l_{c}$$ делит сторону с,
    3. $$m_{a},m_{b},m_{c}$$ — медианы, проведенные соответственно к сторонам a, b и c,
    4. $$h_{a},h_{b},h_{c}$$ — высоты, опущенные соответственно на стороны a, b и c,
    5. r — радиус вписанной окружности,
    6. R — радиус описанной окружности,
    7. $$r_{b}$$ - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b,
    8. $$p = \frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр,
    9. S — площадь,
    10. d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
    11. $$(x_{A};y_{A}),(x_{B};y_{B}), (x_{C};y_{C})$$ — координаты вершин треугольника.

    См. также:
    Площадь треугольника, Прямоугольный треугольник, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник, Биссектриса, Медиана