Исторические сюжеты на тему символики неравенств

Появление символики неравенств

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа $$\pi$$: $$3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}$$

Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического, т. е. что верно неравенство $$\frac{2a \cdot b}{a + b} \le \sqrt{a \cdot b} \le \frac{a + b}{2} $$.

В «Математическом собрании» Папы Александрийского (III в.) оказывается, что если $$\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$$ ( a, b, c. d - положительные числа), то $$a \cdot d > b \cdot c$$.
Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII— XVIII вв. Знаки < и > ввел английский математик Т. Гарриот (1560—1621), знаки ? и ? французский математик П. Бугер (1698—1758).

Томас Гарриот

Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.
Первым алгебраистом XVII века был воспитанник Оксфордовского университета Томас Гарриот (1560-1621), составитель ценного описания и карты исследованной им части Северной Америки, ныне именуемой Северной Каролиной (1586); карты Луны, которую он наблюдал через зрительную трубу в одно время с Галилеем, и, наконец, труда «Применение аналитического искусства к решению алгебраических уравнений», изданного через 10 лет после смерти автора в Лондоне в 1631 году. В этом сочинении, во многом примыкающем к алгебраическим трудам Виета, Гарриот поставил себе задачей изложить «аналитическое искусство» своего предшественника легче и проще для понимания и применения.

Этого он во многом достиг, усовершенствовав символику. Вместо прописных букв для известных и неизвестных величин он применил строчные, а их целые положительные степени стал обозначать, как иногда поступал ранее М. Штифель (1486-1567), записывая соответственно число раз подряд основанию. Виет писал рядом с буквой полное или сокращенное наименование степени или размерности величины. Так как Гарриот пользовался к тому же знаками равенства Р. Рекорда (1510-1558), его запись довольно похожа на современную.

Например, уравнение (один из корней которого есть 2b) $$aaa - 3.baa + 3. bba = +2.bbb$$ соответствует нашему x3- 3 bx2+ 3 b2x = 2b3. Точка здесь служит для отделения числового коэффициента, а не знаком умножения, как это предложил Г.В. Лейбниц (1646-1716) в конце 17 века.
Между прочим, подобного рода запись, в которой свободный член стоит один в какой-либо части уравнения, Гарриот называл каноническим уравнением. Новыми полезными знаками Гарриота явились > и < для отношений «больше» и «меньше», он их употребил при рассмотрении вопроса о наличии у кубического уравнения положительных корней. Вывод соответствующих условий, предложенный Гарриотом, заслужил впоследствии высокую оценку Ж.Л. Лагранжа (1736-1813), но по существу эти условия имелись еще у Виета.

Пьер Бугер

В 1746 г. происходит не менее важное событие - издается капитальный труд французского ученого, одного из основателей фотометрии, Пьера Бугера (1698-1758 гг.) “Трактат о корабле, о его конструкции и о его движении”, который принято считать первым учебником по теории корабля, поэтому эту книгу часто называют просто “Теорией корабля”.

В сочинении разрабатываются основы строгого учения о плавучести и остойчивости корабля, его измерения, обосновывается понятие метацентра и его радиуса, плеча восстанавливающего момента, рассматриваются многие другие вопросы мореходных качеств судна, проблемы обеспечения прочности корпуса. Самое интересное, что Бугер сознавал в целом недостаточную теоретическую подготовленность судостроителей того времени, поэтому его книга написана простым языком и не загромождена сложными математическими выкладками, что сделало ее на долгие годы учебником для кораблестроителей не только Франции, но и многих других стран.

2017-08-08 05:16:09