История измерения объемов тел

В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В Ш Тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.
       Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.
      Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.
       Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает, и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.

  • Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.
  • Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.
  • В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.

      Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел. Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур.

image013 В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения.
Перепишем формулу объема прямоугольного параллелепипеда в виде  V = S H , где  S = a b – площадь его основания, а  H – высота. Рассмотрим прямоугольную треугольную призму (рис.а). Ее легко  «перекроить» в прямоугольный параллелепипед (рис.б). Объем  V, площадь основания   S и высота  H параллелепипеда будут такими же, как у призмы. Следовательно, объем прямой треугольной призмы вычисляется по формуле:
V = S H. Поскольку любую прямую призму можно разрезать на треугольные (рис.в), для нее справедлива та же формула.


2017-08-08 17:23:35