Задача о трисекции угла

     Почему возникла задача о делении угла на три равные части? Вероятно потому, что на такое число частей приходилось делить произвольный прямоугольный отрезок. Это деление выполняется достаточно просто, как просто выполняется деление  не только на три, но и на произвольное число частей. Снова математические ассоциации естественным путем приводят к мысли о возможности перенесения операции деления  с отрезка прямой на иные геометрические образы. В данном случае, рассматривая угол как центральный, мы можем представить задачу о делении угла на три равные части как задачу о делении на такие части дуги окружности, на которую угол опирается (рис.1).

image050рис.1 Итак, можно или нельзя с помощью циркуля и линейки разделить на три равные части дугу окружности? Циркулем и линейкой задача не решена. Однако если не ограничиваться указанными инструментами, то ее можно решить, т.е. разделить на три равные части произвольный угол. Это не будут, конечно, решения, соответствующие тем требованиям, которые были поставлены, но это будет, очевидно, определенным приобретением в математике. В частности, в процессе отыскания таких решений был открыт целый ряд в высшей степени важных и интересных кривых. Одной из них является спираль Архимеда.

      Представим себе равномерно вращающийся патефонный диск, по радиусу которого равномерно ползет муха, причем движение свое она начинает с центра диска. Какую кривую будет описывать муха? Дадим название для такой кривой – спираль Архимеда. Для того, кто знаком с методом координат, не составит труда написать уравнение спирали. 

image065_1Рис. 2    С этой целью воспользуемся полярной системой координат, которая строится так. На плоскости берется произвольная направленная полупрямая  $$\rho$$ (полярная ось). Тогда, если  M – произвольная точка плоскости, то сопоставим с нею два числа – отрезок $$OM = \rho \ge 0$$, называемый полярным радиусом – вектором, и угол  $$\phi$$, называемый полярным углом  и отсчитываемый против движения часовой стрелки от полярной оси до полярного радиуса – вектора. Числа  $$\rho$$, $$\phi$$ называются полярными координатами точки M , а соответствие между точками плоскости и их полярными координатами – полярной системой координат. Точка  O называется полюсом системы.
     Примем то положение вращающегося радиуса, которое соответствует пребыванию мухи в центре диска, за полярную ось, тогда центр диска совпадает с полюсом, а расстояние, которое муха проползет по радиусу (полярный радиус вектор
$$\rho$$), будет пропорционально углу, на который повернется этот радиус (полярный угол $$\phi$$).Следовательно, $$\rho = k \cdot \phi$$,  где k – смещение точки M по лучу $$\rho$$ (множитель пропорциональности), при повороте на угол равный одному радиану. Спираль имеет вид, представленный на рис.2.
     С помощью спирали Архимеда может быть легко решена задача о трисекции угла. В самом деле, как показывает уравнение  $$\rho = k \cdot \phi$$, разделить на три равные части угол – это значит разделить на столько же частей соответствующий этому углу полярный радиус – вектор. Решение представлено на рис.3. На нем изображен подлежащий делению на равные части угол AOB. Примем вершину угла  O за полюс, сторону  OA – за полярную ось полярной системы координат. Построим спираль Архимеда, имеющую уравнение  $$\rho = k \cdot \phi$$, при каком угодно множителе пропорциональности k. Пусть она пересечет сторону ОВ угла в точке K. С помощью циркуля и линейки делим отрезок OK  на три равные части.

image078
image126

Рис.3                                                                       Рис. 4                                                                              Рис. 5 

     Третьей частью указанного отрезка проводим дугу окружности с центром  O и делаем засечку на спирали (точка  M). Проводим прямую  OM. Угол AOM – третья часть угла AOB.
     Очевидно, спираль Архимеда позволяет разделить произвольный угол не только на три, но и на произвольное число равных частей. При этом, разумеется, к инструменту, вычерчивающему спираль, должны быть присоединены циркуль и линейка. Была ли спираль Архимеда открыта именно при решении задачи о трисекции угла, не известно. Но, учитывая, её связь с задачей, связь, которая основывается на прямой пропорциональной зависимости между линейными и угловыми величинами, можно говорить почти с полной уверенностью о том, что мысль о спирали возникла именно в связи с задачей о трисекции.
Задача о трисекции угла может быть решена еще и так. Пусть AOB  – произвольный угол. На его стороне  OB возьмем произвольную точку  P, через которую проведем прямую PQ, параллельную второй стороне угла OA, и прямую PD, перпендикулярную к этой стороне. Через вершину  O проведем прямую так, чтобы отрезок LM ( L – точка пересечения этой прямой с PDM – точка её пересечения с PQ) был равен 2 OP. Угол AOM  есть третья часть угла  AOB (рис.4). В самом деле, пусть  N – середина отрезка LM, NT  – перпендикуляр к PQ. Тогда, как легко понять из рис.4,  OP =  PN = NM. Если обозначить угол AOM  через $$\alpha$$, то и  углы PMO = MPN
$$\alpha$$. Угол ONP равнобедренного треугольника  OPN является внешним углом треугольника PNM, следовательно, равен 2 . Утверждение доказано.

       Провести с помощью циркуля и линейки через точку  O прямую так, чтобы отрезок LM,  оказался равным удвоенному отрезку OP невозможно. Это можно сделать с помощью вставки, предложенной Архимедом. Именно на полоске бумаги (во времена Архимеда это могла быть полоска пергамента) наносятся точки L, M так чтобы отрезок LM  равнялся удвоенному отрезку OP. После этого полоска передвигается так, чтобы она все время проходила через точку O (вершину угла), а точка  L  перемещалась по прямой DP. Тогда в тот момент, когда точка  M окажется на прямой   PQ, полоска отделит от данного угла его  третью часть.
       Вместо полоски с двумя нанесёнными на ней точками можно воспользоваться кривой, которая названа именем Никомеда, греческого математика, жившего во II ст. н.э. Это – конхоида Никомеда. Строится она так. Берется произвольная точка  O – полюс конхоиды, прямая  d, не проходящая через полюс – база конхоиды, и отрезок длины  h – интервал конхоиды. Через полюс  O проводятся всевозможные прямые и от точек их пересечения с базой откладывается отрезок , равный интервалу. Множество точек М и есть конхоида (рис.5). Вернёмся снова к рис.4. Если взять конхоиду с полюсом  O, базой PD  и интервалом, равным удвоенному отрезку OP, то она пересечет прямую PQ  в точке M. Прямая  OM отсекает от угла AOB  третью часть.

2017-01-14 14:10:58