Конус, его элементы и формулы

konyc_1konyc_4

рисунок 1     рисунок 2

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.2).
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

рисунок 3                                   рисунок 4  

konyc_5

рисунок 5                                 рисунок 6

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 3). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 4).
Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность  - по окружности с центром на оси конуса.
Доказательство. Пусть  $$\beta$$  - плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис.5). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость
$$\beta$$   с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью $$\beta$$   с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности – окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.

Задача №1: Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота H.
Решение. Сечение конуса получается из основания конуса преобразованием гомотетии $$k = \frac{d}{H}$$ . Поэтому радиус круга в сечении $$r = R \cdot \frac{d}{H}$$ . Следовательно, площадь сечения $$S = \pi r^{2} = R^{2}\cdot(\frac{d}{H})^{2}$$.

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся  часть называется усеченным конусом (рис. 6).
 Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окруж¬ность основания конуса, а вершиной является вершина конуса (рис. 7). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, яв¬ляются образующими конуса.

konyc_9рисунок 7
Задача №2: У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
Решение. Опустим перпендикуляр SO из вершины пирамиды на плоскость основания (рис. 7) и обозначим длину боковых ребер пирамиды через l. Вершины основания удалены от точки О на одно и то же расстояние. Отсюда  следует,  что  наша  пирамида  вписана  в  конус, у   которого   вершиной   является   вершина   пирамиды,   а основанием — круг с центром О и радиусом R.

konyc 11_1 konyc_13

рисунок 8                    рисунок  9

Касательной  плоскостью  к  конусу  называется  плоскость, проходящая через образующую  конуса  и  перпендикулярная плоскости   осевого   сечения,   содержащей   эту   образующую (рис.8).

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около   основания конуса, а  вершина совпадает с вершиной конуса (рис.  9). Плоскости боковых  граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.

  В 16-м предложении его произведения «О шаре и цилиндре» Архимед выводит формулу для площади боковой поверхности усеченого конуса, которую можно записать по-современному так: $$S = \pi \cdot l \cdot (r+R)$$ .       (1)

Ныне применяется и другой вид формулы (1), получаемый введением радиуса p, равного среднему арифметическому радиусов оснований конусов, т.е. p = (R+r)/2; тогда из формулы (1) получаем: $$S = 2\pi \cdot l \cdot p$$. 

konyc_17

риунок 10

Впишем в конус правильную n-угольную    пирамиду     (рис. 10). Площадь ее боковой поверхности $$S_{n} = \frac{1}{2}P_{n} \cdot l_{n}$$, где Pn – периметр основания пирамиды, а ln  -   апофема.
При неограниченном увеличении n периметр основания  Pn   неограниченно приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема ln - к длине  l образующей. Соответственно боковая поверхность пирамиды неограниченно  приближается  к  $$\frac{1}{2}\cdot C \cdot l$$.  В связи с этим величина  $$\frac{1}{2}\cdot C \cdot l$$ принимается за площадь боковой поверхности конуса. Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется  формуле $$S = \frac{1}{2}\cdot C \cdot l =      \pi \cdot R \cdot l$$, где R — радиус основания конуса, а l — длина образующей.
Аналогично для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R1R2  и образующей l получается формула $$S = \pi(R_{1}+R_{2})\cdot l$$.



2017-01-13 22:22:15