Исторические сюжеты о функциях

Появление понятия функции

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S = 3 r2.
Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита x, y, z, ... - известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.
Кроме того, у Декарта и Ферма в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы.
В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется стечением времени. В «Геометрии» Декарта и
работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями.

Различные подходы к определению функции

В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли, который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных».
Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер, Лагранж, Фурье и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался выше указанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.
В 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых». «Это наименование, - продолжает далее Эйлер - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других».
В 1834 году в работе «Об исчезании тригонометрических строк» Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 году, писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной. Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе».
Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: «если каждому элементу x множества A поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества B, то говорят, что на множестве задана функция f(x), или что множество A отображено на множество B». В первом случае x- элементы множества A называют значениями аргумента, а элементы y из множества B - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений x, которые возможно, и не заполняют отрезка $$a \le x \le b $$, о котором говорится в определении Дирихле.
Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам. Например, к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании мы имеем дело с функцией. Другими синонимами термина «функция» в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др.
Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим. Уже с самого начала 20 века определение Дирихле стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и др.
Обратимся теперь к четвертому киту школьной алгебры — учению о функции. Само слово «функция» происходит от латинского functio — исполнение, осуществление. В математике оно впервые употреблено лишь в XVII в. Г. В. Лейбницем, т. е. сравнительно недавно, но сами функции и способы их задания фактически изучались людьми очень давно — можно сказать, почти так же давно, как числа и уравнения.

Древнегреческий взгляд на функцию

Знаменитый древнегреческий историк Геродот писал, что египетские цари, разделив землю между египтянами, брали с каждого из них ежегодный налог, пропорциональный площади занимаемого участка. Конечно, ни египетские цари, ни землевладельцы, ни сам Геродот не произносили слова «функция», но ведь речь идет о том, что каждому значению площади соответствовало некоторое значение налога. Мысль о графическом изображении связей между величинами возникла еще у ученых Александрийской школы.
Начнем издалека. Вспомним вавилонский способ извлечения квадратного корня. Можно рассмотреть его на примере решения квадратного уравнения x2 = 2 или $$x = \frac{2}{x}$$. Грекам удобнее было представлять себе это уравнение в виде пропорции $$\frac{x}{1} = \frac{2}{x}$$. Получалось, что между числами 1 и 2 «вставлялось» их среднее пропорциональное. Эта пропорция имеет простой наглядный смысл.

image027 Пусть ABCD — квадрат со стороной, равной, например, 1 м. Его площадь равна 1м2. Требуется построить квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Ясно, что сторона такого квадрата должна быть равна $$\sqrt{2}$$ м, т. е. искомый квадрат надо строить на диагонали данного. Таким искомым квадратом будет квадрат ACEF. Из подобия треугольников ACD и АЕС следует $$\frac{AC}{AB} = \frac{AE}{AC}$$ или $$\frac{x}{1} = \frac{2}{x}$$.
Все очень просто и понятно, задачу можно решить с помощью циркуля и линейки.


А дальше — легенда. На острове Делос (в Эгейском море) была страшная чума. И тогда бог возвестил людям: чтобы избавиться от чумы, они должны построить жертвенник, вдвое больший старого. Строители не смогли этого сделать. Дело в том, что жертвенник имел форму куба, и чтобы удвоить его объем, надо было сначала построить ребро нового куба, равное. А эта задача никак не решалась при помощи одних только циркуля и линейки. Тогда строители обратились к великому философу Платону, но тот ответил, что бог дал им это предсказание не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а что он возвестил это в укор грекам, которые не думают, о математике и не дорожат геометрией.
Конечно, греки думали о математике и дорожили геометрией, да и сама задача «об удвоении куба» возникла задолго до Платона, а легенда появилась позднее именно потому, что задачу, действительно, не удавалось решить с помощью циркуля и линейки. Лишь в XIX в. было доказано, что этими средствами решить ее невозможно.

image055 А тогда, в V в. до н. э. Гиппократ Хиосский заметил, что как для удвоения квадрата, надо между 1 и 2 вставить среднее пропорциональное, т. е. составить пропорцию $$\frac{x}{1} = \frac{2}{x}$$ , так и для удвоения куба надо вставить между числами 1 и 2 средние пропорциональные, но уже не одно, а два, т. е. составить пропорцию $$\frac{1}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{2}$$.
Так ли это? Найдем из этой пропорции x. Во-первых, из
$$\frac{1}{x} = \frac{x}{y}$$ получим x2 = y. Во-вторых, из $$ \frac{x}{y} = \frac{y}{2}$$ получим 2x = y2 или $$x = \frac{1}{2}y^{2}$$. Теперь вместо y подставим во второе уравнение x2, получим $$x = \frac{1}{2}x^{4}$$ т.е. $$1 = \frac{1}{2}x^{3}$$ , следовательно, $$x = \root 3 \of {2}$$ , т. е. рассуждения Гиппократа были правильными.

Только построение-то все равно не получается, одна задача свелась к другой. Но из записи $$\frac{1}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{2}$$ следуют интереснейшие выводы. Сформулируем их на современном языке.
Итак, x2 = y или, привычнее, y = x2. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Далее, 2x = y2 или, привычнее, $$y = \sqrt{2x}$$ - это арифметический корень, графиком этой функции тоже служит ветвь параболы, только по-иному расположенная. И еще. Из рассматриваемой пропорции также следует $$\frac{1}{x} = \frac{y}{2}$$ или $$x \cdot y = 2$$, привычнее записать $$y = \frac{2}{x}$$. А это обратная пропорциональность, графиком ее служит гипербола.
Значит, найдя точку пересечения этих кривых, найдем ее координаты и , найдем средние пропорциональные — две «вставки», извлечем корень третьей степени из двух, фактически его не извлекая! И задача об удвоении куба будет решена, только совсем не таким путем, который требовался.

image069 Строим все три графика, получаем искомую точку. С точностью до 0,01 получится: x = 1,26; x2 = 1,59; $$\frac{2}{x}$$ = 1,59; $$\sqrt{2x}$$ = 1,59. Действительно можно считать, что $$\frac{1}{1,26} = \frac{1,26}{1,59} = \frac{1,59}{2}$$ . А если заглянуть в таблицы, то увидим, что $$\root 3 \of {2}$$ = 1,26.
Но так получилось у нас, людей знающих, что такое функция, умеющих строить графики, в том числе и графики функций $$y = \frac{k}{x}$$ - гиперболу, $$Y = x^{2}$$ — параболу.

Кстати, с параболой впервые мы встретились в алгебре именно при изучении функций. Позднее эта кривая понадобилась в физике, когда мы изучали полет тела, брошенного под углом к горизонту. Еще первобытные люди бросали камни, видели, как они летят, видели параболу, значит, этой кривой должны были заинтересоваться в глубокой древности. Видимо, существует способ построения параболы без всяких иксов и игреков, без формул, без уравнений, способ чисто геометрический.

Задачи прошедших веков, связанные с понятием функции

image083

Задача Лейбница о трактрисе
Пусть по оси абсцисс бежит собака, а ее хозяин (первоначально находившийся на оси ординат) бежит за ней так, что поводок все время натянут. В этом случае поводок будет направлен по касательной к пути хозяина. Требуется найти, по какой линии бежит хозяин собаки.

Решение: Эту кривую называют трактрисой. Через полтора столетия после ее открытия она сыграла роль в утверждении неевклидовой геометрии Лобачевского: если повернуть трактрису вокруг оси абсцисс, то на полученной поверхности вращения будет выполняться геометрия Лобачевского.

Пушки и ученые

image091 Траекторией снарядов интересовались многие ученые. Особенный интерес возник с момента изобретения пороха (в XIII веке). Ни одна тогдашняя крепость не могла долго выдержать артиллерийский огнь. Сначала применяли лишь настильный огонь, а это не давало возможности располагать артиллеристов в укреплении за холмом. Лишь позже догадались применять навесный огонь, позволяющий стрелять из-за укрытия. Чтобы обеспечить прицельность навесного огня, нужно было изучить движение тела, брошенного под углом к горизонту. Ученые доказали, что тело движется по параболе.

Если при заданной начальной скорости снаряда менять угол , то получится бесконечное множество парабол. Все параболы, для которых 45° ? $$\alpha$$ ? 90°, касаются одной и той же линии, имеющей уравнение $$y = \frac{1}{2}(\frac{V^{2}}{g} - \frac{g \cdot x^{2}}{V^{2}})$$.
Её называют параболой безопасности. Если точка N находится вне ограниченной ею области, то при начальной скорости V снаряд не попадёт в N ни при каком угле наклона.

Оптические свойства параболических зеркал

image092 По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжег римские корабли. Большинство ученых отвергают эту легенду, поскольку такие зеркала должны были бы иметь слишком большие размеры, а это невозможно при тогдашнем уровне техники.
Но если даже история о сожжении кораблей легендарна, то все-таки сжечь римский флот при помощи параболических зеркал возможно.
Результаты, полученные Архимедом, были основаны на следующем утверждении: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус. Это же свойство параболы можно сформулировать и так: касательная к любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.
Для того чтобы построить зеркало, собирающее солнечные лучи в одной точке, нужно отшлифовать его по параболоиду вращения – поверхности, получаемой при вращении параболы вокруг ее оси. Если направить такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы, и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет вскипятить воду, расплавить свинец и т.д. Отсюда происходит и само название «фокус», означающее по-латыни «очаг».


2017-08-07 21:34:29