Евклидова геометрия

В  число новых  предметов  учебного  плана  7 класса  входит  геометрия. К изучению этого раздела  математике школьников  готовят  ещё с 1 класса. И в течение пяти лет они овладевают  геометрическими образами,  фактами  и терминами.

Начало геометрии  дал древнегреческий  ученый  Евдем Родосский. Геометрия  возникла в Египте  при измерение земли. Сезострис , египетский  царь, - рассказывает  греческий  историк  Геродот,  живший  в 5 веке до н. э.,- произвёл деление  земель , отмежевав каждому  египтянину  участок  по  жребию. Приведенные  тексты древнегреческих   авторов  Геродота и Евдемма  Родосского  очень  ценны. Они утверждают  о  всеобщих  геометрических  знаниях  в  Египте  более  4000  лет  назад. А  также  сохранились  и подлинные  записи  египетской  математике. Самым  древним  является  папирус, написанный  примерно  в  1900 г. До  н.э. Папирус  приобрёл  известный  русский  египтолог  В.С. Голенищев  в  1893 г. А  в  1912 г.  он стал  достоянием  Московского   музея. В  Московском  папирусе  среди  25 задач  математике  также  содержится  7 геометрических.

    Еще  хранится  в Британском  музее  папирус  Ахмеса. В  этом  папирусе  рассмотрено  решение  84  прикладных  задач, в  том  числе  20  геометрических. Особую  роль  в  дальнейшем  развитии  геометрии  сыграло  накопление  геометрических  знаний  в  Египте  и  в  Вавилоне. Около  двух  с  половиною  тысяч  лет  назад  греки  начинают  заимствовать  геометрические  познания  у  египтян  и  вавилонян. В  Греции  эти  знания  сначала  почти  исключительно  применяются  к измерению  земельных  участков. Отсюда  и  появляется  греческое  название  “геометрия”. Первым  испытал  свои  силы  в  написании  такого  сочинения  геометрии  5 в. до  н.э.  Гиппократ  Хиосский, научная  деятельность  которого  протекала  в  Афинах. В  основу  своих  геометрических  знаний  Гиппократ  положил  простейшие  геометрические  свойства, подтверждённые  многовековым  опытом  человечества. Остальные  же  предложения  геометрии  он  стремился  вывести  из  исходных  путем  рассуждений.

      Следующем  этапом  стала  теоретическое  сочинение  по  математике  “Начала” Евклида. ”Начала”  и  является  главной  из  всех   работ  Евклида. ”Начала” составлены  по  чёткой  логической  схеме, выработанной  до  Евклида. В  соответствии  с  ней сначала  формулируется  определения  и  аксиомы, а затем  такие  предложения, которые  сопровождаются  доказательствами. “Начала” состоит  из  13  книг. Которые  из  них  9  геометрических, а  первые  6  книг  посвящены  планиметрии  и  последние  3- стереометрии. Первая книга начинается с 23 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек. Первые четыре книги «Начал» посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей. 

В книге 1 даны определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: «точка есть то, что не имеет частей», «поверхность есть то, что имеет только длину и ширину», и т.д. За этими определениями следуют пять требований или постулатов:

«Допустим:

  1. что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;
  2. и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;
  3. и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;
  4. и что все прямые углы равны между собой;
  5. и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

 Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных – самый знаменитый. Затем Евклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы ко всем наукам. Аксиомы – это такие очевидные вещи, которые, по словам Аристотеля, «необходимо знать каждому, кто будет что-то изучать». Постулат – это лишь принцип, который геометр предлагает принять своему собеседнику, но который не является ни «очевидным», ни «аксиоматическим» и который можно отвергнуть, не приходя к противоречию. 

 Сформулировав определения, постулаты и аксиомы, Евклид доказывает в книге 1 свойства треугольников среди которых – условия равенства, причем два треугольника равны, если они совмещаются при наложении. Далее описывается построения биссектрисы угла, отрезка и перпендикуляра к прямой. В эту книгу включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур.

 В книге 2 заложены основы так называемой геометрической алгебры. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Произведение двух чисел, АВ, таким образом, – не что иное, как площадь прямоугольника со сторонами А и В. Произведение трех чисел – объем.

Книга 3 целиком посвящена геометрии окружности, а в книге 4 изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

Книга 5 написана на более высоком уровне, а теория отношений, которая в ней изучается, – вещь очень тонкая. Теория пропорций представляет собой шедевр математической литературы всех времен. На протяжении многих веков она интересовала математиков. Однако построение множества чисел не входило в намерение Евклида, он лишь стремился обосновать измерение величин.

 Евклид включает в понятие величины длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы, хотя  нигде об этом не писал. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, избегая также обращение к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Книга 6 также посвящена планиметрии.

 В книгах 7-9 изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входят теории делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Книга 10 читается с трудом, но считается одной из самых тонких; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямым и прямоугольниками.

Книга 11 посвящена стереометрии. В книге 12, с помощью метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги 13 является построение правильных многогранников.

     Текст Начал на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Древнейший из их, написанный Проклом, является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. В частности, Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т.н. Эвдемов обзор), обсуждает весьма непростую взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль созерцания в доказательствах (фрагмент из Порфирия). Из древних комментаторов следует упомянуть еще Паппа, из новых Пьера Рамуса,Федериго Коммандино, Христофа Шлюсселя (Клавия) и Савелиуса.

 «Начала» – не единственный труд Евклида, ему принадлежат, кроме того:

  •  «Data», близко связанное с первыми четырьмя книгами Начал.
  •  «О делении фигур», которое сохранилось частично и только в арабском переводе и дает деление геометрических фигур на две или более части, равные или состоящие в заданном отношении.
  •  «Phaenomena», посвященное приложениям сферической геометрии к проблемам астрономии.
  • «Оптика», посвященное теории перспективы
  • «Катоптрика», посвященное математической теории зеркал. Первое издание состоялось в Париже, 1557.
  • «Начала конических сечений» в четырёх книгах. Не сохранилось. Упоминается в I книге «Конических сечений» Аполлония Пергского.
  •  «Геометрические места на поверхностях». Упоминается у Паппа Александрийского (VII книга Математического собрания). Не сохранилось.

        В  число  утверждений, которые  принимаются  в  “Началах”  без  доказательства, входила  и  аксиома  о  параллельных  линиях. Эта  аксиома  по  многим  причинам  смущала  математиков. Она  значительно  сложнее  других  аксиом. Сложнее  и  по  утверждаемому  его  факту,  и  по  своей  формулировке. С  этой  целью  стремились  доказать  аксиому  о  параллельных. Пытались  логически  вывести  её  утверждение  из  остальных  аксиом  Евклида. Не  один  раз  казалось,  что  многовековые  поиски  доказательств  правили, наконец, к успеху. Великий  русский  математик  Н.И. Лобачевский  впервые  строго  научно  установил  полную  бесплодность  попыток  доказательств  аксиом  о  параллельных. Он  доказал,  что утверждение  этой  аксиомы  нельзя  вывести  из  остальных  аксиом  Евклида. Геометрия  Лобачевского  в  настоящее  время  имеет  широкое  применение. На  неё  опираются  очень  многие  теории  современной  физики  и  астрономии. Однако  область  применений  геометрии  Евклида  остаётся  достаточно  широкой. Её  должны  знать  все , независимо  от  своей  будущей  специальности. А  потому  евклидову  геометрию  изучают  и  будут  изучать  в  школах.

2017-08-08 00:45:36