Задача об удвоении куба

Задача об удвоении куба носит ещё название делосской или делийской задачи. С её возникновением связывают обычно легенду о разразившейся на острове Делосе гуме и об условии, которое поставил оракул в храме Аполлона перед делосцами, молившими божество об избавлении от лихой беды. Вероятно, было это так.

Боги бывают милостивыми, но чаще всего они злы. Злость их не имеет границ. За вину одного расплачиваются многие. А часто и вины никакой нет. Вины нет, а наказание есть…
День за днём гибли и гибли люди на острове Делосе. Чума как незваная гостья, нагло заходила в каждый дом и пятнала своей костлявой рукой каждую семью.
Все дни неумолчно ревёт море. Попрятались птицы, укрылись в горах звери. Гигантские волны, обрушиваясь на прибрежные скалы, приносили с собой запах тлена, запах смерти…
Горе, страшное горе нависло над Делосом. За что прогневались боги? Какую жертву требуют они?
Почему молчит оракул? Почему спит Пифия? День сменяется ночью, ночь – ещё более тягостным днём, а спасенья всё нет и нет.
Наконец, после долгих дней непрерывного сна, прорицательница пробудилась. Она сидела у входа в пещеру, из глубины которой неслись густые, тлетворные миазмы. Её длинные, всклоченные, нечесаные волосы развевались на ветру, как бесчисленные змеи на голове Медузы Горгоны. Под действием вредоносных испарений Пифия впала в состояние транса и начала выкрикивать слова, смысл которых не был понятен непосвященным. Этот смысл могли разгадать только жрецы, да и то лишь после того, как сверялись со старыми книгами.
На этот раз смысл бессвязного бормотания Пифии был таков: Аполлон, божественный покровитель острова, требовал удвоить алтарь в его храме. На этом алтаре по особо торжественным праздникам верховный жрец храма приносил кровавые жертвы.
Требование поначалу показалось очень простым. Измученные изнурительным бедствием делосцы бросились в каменоломню и после нескольких дней лихорадочного труда выточили из громадного куска гранита куб, в точности равный храмовому алтарю.
Обвязав камень верёвками, обессиленные люди впряглись в лямки и поволокли его к храму. С неимоверными усилиями подняли его на старый жертвенник и укрепили. Желание бога было выполнено – объём нового жертвенника был точно вдвое больше старого. Жители ликовали…
Радость оказалась преждевременной. Неумолимая, незваная гостья по – прежнему ходила из дома в дом, и по – прежнему воздух оглашался воплями и стенаниями. Что же бог? Чего же он хочет ещё? Разве они не сделали того, что он просил?
Вновь поднялась на высохших ногах старая прорицательница и вновь уселась у входа в священную пещеру. И опять, как прежде, извивались на ветру её нечесаные волосы, похожие на бесчисленных змей Горгоны, и опять тяжелые испарения окутали её и помутили рассудок. Снова полились бессвязные выкрики и бормотания. Жрецы открыли свои божественные книги и стали искать смысл того, что им передала Пифия своём горячечном бреду. На этот раз смысл прорицания был таков: удвоить жертвенник, не меняя его формы. Не раздумывая, как и в первый раз, бросились воспарявшие духом делосцы  в каменоломню.
Однако на этот раз дело оказалось намного труднее, чем прежде. Кто – то предложил выточить куб, ребро которого точно в два раза больше ребра храмового алтаря. Однако тут же это предложение было высмеяно – объём такого куба будет не в два, а в восемь раз больше объёма куба, стоящего в храме. Несколько каменщиков взялись выточить куб с объёмом, лишь приблизительно вдвое превосходящим объём куба, выточенного ими же несколько дней назад. И это было отвергнуто – богу надо было дать точное решение.
После целого ряда бесплодных попыток решить задачу несколько человек вызвались съездить в Афины, чтобы посоветоваться с тамошними математиками.
Посланные возвратились через несколько дней. Некто Гиппократ с острова Хиоса, находившийся в то время в Афинах, предложил найти ребро искомого куба как первое из двух средних пропорциональных между двумя величинами, из которой одна – ребро куба, стоящего в храме Аполлона, вторая – вдвое больше её.
И вновь застучали молотки. Через несколько дней жертвенник был готов. Тащить его в храм пришлось значительно большему числу людей, чем в первый раз. Убрали два старых куба и на их место водрузили новый.
…И на этот раз жестокий бог обманул надежды несчастных делосцев. Смерть беспощадной рукой продолжала косить ни в чем неповинных людей. Чего же ещё надо жестокосердному Аполлону? Разве мало ему тех жертв, что уже принесены? Разве они не старались во всё следовать его велениям?
В третий раз поднялась высохшая, как безжизненная олива, Пифия и заняла место у пещеры. В третий раз измученные жители с острова с болью  и надеждой прислушивались к каждому её вздоху.
Веление, которое в этот раз передал Аполлон, было таково: куб был построен с использованием недопустимых инструментов. Надо было это сделать, не прибегая ни к какой иной помощи, кроме циркуля и линейки. Только эти инструменты божественны. Все остальные не достойны того, чтобы с их помощью исполнять волю богов.
Чёрный мрак вновь опустился над Делосом…

         Гиппократ Хиосский, с которым мы уже познакомились, занимался не только луночками, образованными дугами окружностей, с его именем связана также одна из попыток решения задачи об удвоении куба. Как известно, эта задача состоит в требовании построить с помощью циркуля и линейки ребро куба, объем которого в два раза больше объема данного куба. Если a  – ребро данного куба, x  – ребро искомого, то, в соответствии с задачей, мы должны иметь x3  = 2 a3       (1)

       Гиппократ задачи не решил. Ни с помощью циркуля и линейки, ни с помощью иных инструментов. Но он показал, что эта задача может быть сведена к задаче о нахождении двух средних пропорциональных между двумя заданными величинами, из которых первая равна ребру искомого куба, другая – вдвое больше ее. Тогда ребро искомого куба будет первой средней пропорциональной. Действительно, если воспользоваться современными обозначениями, то мы будем иметь: $$\frac{a}{x}= \frac{x}{y}=\frac{y}{2a}$$.  Из этих двух пропорций получаем:  $$x^{2}=2y;y^{2}=2ax$$        (2).  Исключив из последних равенств y , после сокращения получающегося при этом соотношении на x , придем к равенству (1).

2017-01-14 16:54:23