Луночки Гиппократа

        Прежде всего, задача о квадратуре круга представляется совершенно естественной с точки зрения элементарной логики математического мышления. В самом деле, с одной стороны, имели круг как первую фигуру, с которой приходиться сталкиваться, когда получаешь в руки циркуль. С другой стороны, есть ещё одна совершенно естественная фигура – квадрат. Каждая из этих фигур имеет вполне определенную площадь. Но тогда ни одного математика не надо, очевидно, убеждать в том, что между двумя такими фигурами с одинаковыми площадями можно совершенно естественно протянуть мостик – преобразовать одну из них в другую. Поскольку же преобразовывать можно было только с помощью циркуля и линейки, то возникла  задача о том, чтобы с помощью данных инструментов построить сторону квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Но это и есть задача о квадратуре круга.
      А могло быть и иначе – к мысли о квадратуре круга могли прийти не непосредственно, а через ряд промежуточных звеньев. Так, например, издавна было известно утверждение, которое историческая традиция связывает с именем Пифагора – сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы. Эта истина задолго до Пифагора была известна вавилонянам, которые использовали ее в своих практических расчетах.
       Легко понять, что теорема Пифагора справедлива не только для квадратов, построенных на катетах и гипотенузе, но для любых подобных фигур, построенных на этих отрезках. В самом деле, если a, b, c   – соответственно длины катетов и гипотенузы, а   A, B, C  – площади построенных на них подобных фигур, то, как известно,  $$\frac{A}{a^{2}} = \frac{B}{b^{2}} = \frac{C}{c^{2}}= \lambda$$. (Через $$\lambda$$
  мы обозначили величину общего отношения).  Отсюда  $$A + B = \lambda (a^{2}+b^{2})= \lambda c^{2}= C$$,  что и доказывает утверждение.
       В частности, сумма площадей двух полукругов, построенных на катетах, равна площади полукруга, построенного на гипотенузе (катеты и гипотенуза являются диаметрами  соответствующих полукругов). Но в таком случае, как видно из рис.1, сумма площадей двух заштрихованных серпиков равна площади заштрихованного прямоугольного треугольника.

image022_1

Рис. 1, на котором изображены полукруги, построенные на катетах и гипотенузе, выполняется с помощью циркуля и линейки. Каждый из серпиков представляет собой фигуру, известную в математике под именем луночки Гиппократа. Название связано с именем древнегреческого математика Гиппократа Хиосского, жившего в V ст. до н.э. и, в частности, занимавшегося отыскиванием площадей таких луночек.
Таким образом, с помощью циркуля и линейки фигуру, составленную из двух луночек Гиппократа, можно превратить в равновеликий им прямоугольный треугольник, который затем  легко может быть преобразован, также с помощью циркуля и линейки, в равновеликий ему квадрат. 
Рис. 1                                                                                 Рис.2

Операция нахождения стороны квадрата, площадь которого равна площади прямоугольного треугольника, представлена на рис.2. На нём изображен треугольник АВС с катетами BC  = a , AC  = b . Строим отрезок AD = b + $$\frac{a}{2}$$  и на нем как на диаметре – полуокружность. Пусть последняя пересекает катет BC  или его продолжение в точке K . Тогда CK  – сторона искомого квадрата, поскольку $$CK^{2}= AC \cdot CD = b \cdot \frac{a}{2}$$.
Обратимся теперь к рис.3, на котором изображены прямоугольный треугольник АВС, его высота СК, проекции АК и КВ катетов на гипотенузу. На этих проекциях и на гипотенузе построены полуокружности.

image039 Заштрихованная фигура, образованная такими полуокружностями, напоминает древнегреческий сапожный нож арбелон, поэтому и задача об отыскании площади такой фигуры получила название задачи об арбелоне. Обратим внимание на то, что арбелон образован дугами трёх окружностей, следовательно, в известном смысле, может быть, рассматриваем как некоторая обобщенная луночка Гиппократа. Рис.3 также может быть выполнен с помощью циркуля и линейки. На этом рисунке представлен также и круг с диаметром CK . Пусть  k – площадь такого круга, a  – площадь арбелона. Легко усмотреть справедливость следующих равенств: $$k = \pi(\frac{CK}{2})^{2}$$
                                Рис.3

  и  $$a = \frac{1}{2}\pi(\frac{AK + KB}{2})^{2}-\frac{1}{2}\pi(\frac{AK }{2})^{2}-\frac{1}{2}\pi(\frac{KB}{2})^{2}= \pi \frac{AK \cdot KB}{4}$$. Но  $$CK^{2}= AC \cdot CD$$, следовательно, a = k
       Таким образом, с помощью циркуля и линейки некоторые обобщенные луночки Гиппократа (арбелон) можно превратить в равновеликий им круг. Отсюда совершенно естественно могла возникнуть мысль о том, а нельзя ли через посредничество каких – то луночек Гиппократа превратить круг в равновеликий ему квадрат. Так или не так происходило дело в действительности, мы сказать не можем, но нельзя отрицать того, что с точки зрения логики математических ассоциаций вероятность подобной последовательности рассуждений достаточно велика.

2017-01-14 12:54:36