Объемы тел: Теоретический материал для решения задач

Конус

Определение. Конической поверхностью называется поверхность, образованная вращением прямой, пересекающей некоторую неподвижную прямую (ось вращения) вокруг этой оси. Точка пересечения называется вершиной конической поверхности.
 Определение. Прямым круговым конусом (в дальнейшем просто конусом) называется тело, ограниченное конической поверхностью, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, перпендикулярной оси вращения (основание конуса).
Определение. Часть конической поверхности, от вершины до основания, называется боковой поверхностью конуса, часть образующей от вершины до основания называется образующей конуса. В основании конуса лежит круг.

  • Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса (осевое сечение), есть равнобедренный треугольник, высота которого совпадает с    высотой конуса, а основание равно диаметру основания конуса.
  • Любое сечение конуса, проходящее через вершину, есть равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующим конуса.
  • Сечением конуса, пересекающим только его боковую поверхность, является часть плоскости, ограниченной эллипсом или окружностью, если  сечение перпендикулярно оси конуса.
  • Если боковую поверхность конуса разрезать вдоль образующей, то получится круговой сектор, который называется разверткой боковой поверхности конуса. Радиус этого сектора равен образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания.

Пирамида

Определение. Многогранник, у которого все грани за исключением одной являются треугольниками с общей вершиной, называется пирамидой. Эти треугольники называют боковыми гранями, а оставшуюся грань – основанием пирамиды. Если основание – n-угольник, то пирамиду называют n-угольной.
Определение. Треугольную пирамиду еще называют тетраэдром, а тетраэдр, у которого все ребра равны, – правильным тетраэдром. Ребра пирамиды, не принадлежащие основанию, называют боковыми ребрами, а их общую точку – вершиной пирамиды. Другие ребра и вершины обычно называют сторонами и вершинами основания пирамиды.
Определение. Пирамиду называют правильной, если все ее боковые ребра равны и в основании лежит правильный многоугольник. Ясно, что правильный тетраэдр – правильная треугольная пирамида, но не всякая правильная треугольная пирамида является правильным тетраэдром. Среди правильных пирамид только правильный тетраэдр является правильным многогранником.
Определение. Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания называется ее высотой, часто под высотой пирамиды также понимают отрезок, перпендикулярный основанию и имеющий концы в вершине пирамиды и на плоскости основания.   Апофемы высоты боковой грани, опущенной из вершины пирамиды.
 Определение. Часть пирамиды, заключенная между плоскостью основания и плоскостью, проведенной параллельно основанию с пересечением боковых ребер пирамиды, называют усеченной пирамидой. Основание пирамиды и сечение указанной плоскостью исходной пирамиды называют основаниями усеченной пирамиды. Остальные грани усеченной пирамиды называют боковыми. Ребра, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой усеченной пирамиды, часто высотой усеченной пирамиды также называют любой отрезок, перпендикулярный плоскостям оснований и имеющий концы на этих плоскостях. Ясно, что основания усеченной пирамиды подобны. Если ее основания – правильные многоугольники и все ее боковые ребра равны, то такую усеченную пирамиду называют правильной.
При решении задач, связанных с пирамидой, полезными являются утверждения.
Утверждение 1.
Следующие три предложения а) – в) равносильны:
      а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром описанной окружности около многоугольника в основании;
      б) боковые ребра пирамиды равны;
      в) боковые ребра образуют равные (острые) углы с плоскостью основания пирамиды.
Утверждение 2.
Следующие три предложения а) – в) равносильны:
     а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании;
     б) высоты боковых граней - треугольников, проведенные из вершины пирамиды, равны и лежат на соответствующих боковых гранях;
     в) двугранные углы при основании пирамиды равны.
Утверждение 3.
Следующие три предложения а) – в) равносильны:
     а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды;
     б) высоты боковых граней - треугольников, проведенные из вершины пирамиды, равны;
     в) плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания.

Цилиндр

Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная вращением прямой, параллельной оси вращения.

Прямым круговым цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями, перпендикулярными оси цилиндра. В дальнейшем такое тело будем называть просто цилиндром.

  • Часть поверхности между этими плоскостями называется боковой поверхностью цилиндра, круги, полученные в секущих плоскостях – основаниями цилиндра, часть образующей между основаниями называется образующей цилиндра.
  • Сечение, проходящее через ось цилиндра – осевое сечение, есть прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и диаметру основания.
  • Сечение, параллельное оси цилиндра – прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра и хорде основания, не проходящей через центр.
  • Сечение, не перпендикулярное оси цилиндра, пересекающее боковую поверхность и не пересекающее основания цилиндра, представляет часть плоскости, ограниченную эллипсом.
  • Если боковую поверхность цилиндра разрезать вдоль образующей и развернуть, то получится прямоугольник, называемый разверткой боковой поверхности цилиндра, стороны которого равны высоте цилиндра и длине окружности основания.

Шар

Определение. Тело, полученное при вращении полукруга вокруг диаметра, называется шаром, а поверхность, образуемая при этом вращении, называется шаровой поверхностью или сферой.

  • Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Если плоскость проходит через центр шара, то сечение называется большим кругом (радиус этого круга равен радиусу шара).
  • Часть шаровой поверхности, отсекаемая от нее какой-нибудь плоскостью, называется сегментной поверхностью.
  •  Часть шаровой поверхности, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями, называется шаровым поясом.
2017-01-14 08:40:05