Великие задачи геометрии

Говорят, что, находясь в темнице, философ Анаксагор скрашивал томительное бездействие размышлениями над задачей о квадратуре куба и тем, что с нею связано. Это была одна из тех задач, которые последующие поколения назвали великими. Чем же примечательна эта задача, чем примечательны другие великие задачи?

Об этих задачах написаны сотни работ. Сейчас же ограничимся самыми общими словами и, прежде всего, приведем формулировки задач.

  1. Задача о квадратуре круга: требуется построить сторону квадрата, площадь которого равна площади данного круга.
  2. Задача об удвоении куба: требуется построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема данного куба.
  3. Задача о трисекции угла: требуется данный, но произвольный угол разделить на три равные части.

       Оговоримся, однако, что если бы задачи были сформулированы точно так, как это сделано у нас, то никакими великими они бы не стали – задачи решаются множеством способов, и многие из таких способов знали уже сами греки. Нужно было не просто решить задачи, но решить, не прибегая к помощи никаких иных инструментов, кроме циркуля и линейки.

       Почему греки предпочитали циркуль и линейку иным инструментам? Ответить на этот вопрос однозначно и в достаточной степени убедительно мы не можем. Потому ли, что циркуль и линейка являются наиболее простыми инструментами? Может быть и так. Однако можно указать множество иных инструментов, столь же простых, как циркуль и линейка, или почти столь же простых. С помощью некоторых из них решаются и сформулированные задачи.

      С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что решить их невозможно, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка проблемы «доказать неразрешимость» была смелым шагом вперед.

     Если говорить о значении решения великих задач для практики, то сразу же с всею определенностью следует сказать, что оно равно нулю. В самом деле, так ли уж важно решать эти задачи именно циркулем и линейкой? Не проще ли сделать это иными инструментами? Однако оказалось, что именно в бесчисленных попытках решить задачи циркулем и линейкой, было получено столько важного для математики, причем именно такого важного, которое имеет уже непосредственное практическое значение, что практическая важность самых задач (если ее все же постараться усмотреть) отступает куда – то на очень и очень далекий план.

     Известные с глубокой древности три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга, сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что решить их невозможно, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка проблемы «доказать неразрешимость» была смелым шагом вперед.

     Математика обладает чудесной особенностью, выделяющей её из других наук: если в ней потянуть за какое–то звено, то можно вытянуть всю цепь её фактов, причём как такие её части, которые предшествуют выбранному звену, так и такие, которые за ним следуют. Происходит это потому, что математика развивается по своим внутренним законам, и именно эти законы с железной необходимостью заставляют нас говорить «Б» всякий раз, когда сказано «А». Роль одного из звеньев в развитии математики сыграли и великие задачи. Взяв это звено, можно усмотреть генетическую связь между ним и очень многими областями как старой, так и новой математики.

2017-08-08 07:53:45