В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена x - a: точка a  делит числовую ось на две части – справа точки a  двучлен  x - a положительный, а слева от точки a  – отрицателен x - a.

Пусть требуется решить неравенство (x - a₁)(x - a₂)...(x - a_n) > 0 , где  a₁, a₂, ..., a_n  – фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что a₁ <  a₂ <  ..< a_{n - 1} <  a_n .

 Рассмотрим функцию f(x) = (x - a₁)(x - a₂)...(x - a_n). Для любого числа x₀  такого, что x_{0 >} a_n, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит,  f(x₀) > 0. Для любого числа x₁ , взятого из интервала  (a_{n - 1}; a_n), соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя (x - a_n), положительно, поэтому число f(x₁) < 0  и т.д.

На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую ось наносят числа  a₁, a₂, ...,a_{n - 1}, a_n ; в промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа a_n , ставят знак плюс, а в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем – знак плюс, затем – знак минус и т. д.

Тогда множеством всех решений неравенства  (x - a₁)(x - a₂)...(x - a_n) > 0 будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак плюс: П(f ⁺ ), а множеством решений неравенства  (x - a₁)(x - a₂)...(x - a_n) < 0 , где  , будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус:П(f^{- -} ).

Метод интервалов можно применять и при решении неравенств вида $$\frac{f(x)}{g(x)} > 0$$, где f(x)  и  g(x)  функции, так как это неравенство  равносильно неравенству $$f(x) \cdot g(x) > 0$$.

Пример 1. Решить неравенство (x + 3)(x - 4) (2x  + 5) < 0. Решение. Перепишем неравенство в виде 2(x - (- 3))(x - (- 2,5))(x - 4) < 0 . Отметим на координатной оси числа -3, -2,5 и 4 . Определим знаки на промежутках и  расставим знаки плюс и минус так, как указано на рисунке.Решениями неравенства будут все x  из объединения промежутков $$( - \infty; - 3)$$  и  (-2,5; 4). Ответ: $$( - \infty; - 3)\cup(-2,5; 4)$$

 Рассмотрим свойство двучлена (x - a)ⁿ . Точка  a  делит числовую ось на две части, причем:

• если n  четное, то выражение (x - a)ⁿ  справа и слева от точки a  сохраняет положительный знак;
• если n  нечетное, то выражение (x - a)ⁿ  справа от точки a  положительно, а слева от точки a отрицательно.

Рассмотрим функцию f(x) = (x - a₁)^k₁(x - a₂)^k₂...(x - a_{n - 1})^{k_{n - 1}}(x - a_n)^k_n,  где a₁ <  a₂ <  ..< a_{n - 1} <  a_n.

Для любого числа x₀ такого, что x₀ >  a_n, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит, f(x₀) > 0 . Для любого числа  x₁, взятого из интервала  (a_{n - 1}; a_n), соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя  (x - a_n)^k_n, положительно, если k_n  – четное число, и отрицательно, если  k_n   – нечетное число. Поэтому число f(x₁) < 0 ,  если  k_n   – нечетное число и   f(x₁) > 0 , если  k_n – четное число. Аналогично определяется  знак функции f(x)  на любом интервале.

Таким образом, на числовую ось наносят числа  a₁, a₂, ...,a_{n - 1}, a_n . В промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа  a_n , ставят знак плюс, а затем, двигаясь, справа налево, при переходе через очередное число   меняют знак, если   k_n   – нечетное число и  сохраняет знак, если  k_n   – четное число.

Пример 2. Решить неравенство (x + 7)(2x - 5)³(6 - x)⁵(3x + 10)⁴ < 0 .

Решение. Перепишем неравенство в равносильном виде (x - ( -7))(x - ( -$$\frac{10}{3}$$))⁴(x -2,5)³(x - 6) > 0. На числовой оси отметим числа -7, -10/3, 2,5 и 6. Справа от наибольшего числа 6 ставим знак плюс.

При переходе через точку x = 6  функция f(x) = (x - ( -7))(x - ( -$$\frac{10}{3}$$))4(x -2,5)3(x - 6) меняет знак, так как двучлен (x - 6)  содержится в нечетной степени, поэтому в промежутке (2,5; 6) ставим знак минус. При переходе через точку x = 2,5  функция f(x)  меняет знак, так как двучлен (x - 2,5)   содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке (-10/3; 2,5) ставим знак плюс.

При переходе через точку x = -10/3 функция f(x)  не меняет знака, так как двучлен (x -( -10/3))   содержится в произведении в четной степени, поэтому в промежутке(-7;-10/3) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку  x = 7   функция f(x)  меняет знак, так как двучлен (x - ( -7))  содержится в произведении в первой степени, поэтому в промежутке  $$(-\infty; 7)$$ ставим знак минус. Решением неравенства (x + 7)(2x - 5)³(6 - x)⁵(3x + 10)⁴ < 0, а значит, и равносильного ему неравенства  (x - ( -7))(x - ( -$$\frac{10}{3}$$))⁴(x -2,5)³(x - 6) > 0  будет совокупность промежутков, где стоит знак плюс.

Ответ: $$x \in ( -7;-\frac{10}{3})\cup (-\frac{10}{3}; 2,5)\cup (6; +\infty)$$.