Часто использование понятия площади многоугольника позволяет решить задачу, в формулировке которой понятие площади само по себе не фигурирует. Рассмотрим рад задач, которые решаются с использованием понятия площади.

№1 В треугольнике ABC точка C₁ лежит на стороне AB, точка K — на отрезке CC₁. Докажите, что $$\frac{S_{AKC}}{S_{BCK}}= \frac{AC_{1}}{C_{1}B}$$.

№2 Теорема Чевы. Три точки A₁, B₁ и C₁ выбраны на сторонах BC, AC и AB треугольника ABC так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Доказать, что $$\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{C_{1}A}= 1$$.

№3 Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что $$S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{BOC} \cdot S_{DOA}$$.

№4 Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон не зависит от положения этой точки.

№5 Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению наибольшей и наименьшей диагонали.

№6 Найдите площадь треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге. Площадь одной клетки равна 1.

№7 Могут ли длины высот треугольника равняться 1, 2 и 3?

№8 Длины сторон треугольника больше 100. Может ли его площадь быть меньше 1?

№9 Кошка бегает за мышкой по доске, изображенной на а) первом; б) втором рисунке. За один ход можно перейти в соседнее поле (по нарисованному отрезку). Начинает кошка. Кошка съедает мышку, если оказывается с ней в одном месте. Удастся ли ей это?

 №10 Разрежьте квадрат со стороной 5 на несколько частей, из которых можно сложить два квадрата со сторонами 3 и 4.

№11 Через точку M , лежащую на стороне треугольника ABC , провести прямую, которая делит треугольник на две равновеликие части.

№12 Через вершину выпуклого четырех угольника провести прямую, которая делит четырехугольник на две равновеликие части.

№13 Через точку M , лежащую на стороне выпуклого четырехугольника, провести прямую, делящую его на две равновеликие части.

№14 Через произвольную точку внутри треугольника провести три прямые параллельные трем сторонам. Написать соотношения для площадей получившихся треугольников.

№15 Докажите, что выпуклые четырехугольники, середины сторон которых совпадают, равновелики.

№16 Найдите медианы треугольника, зная его стороны.

№17 Докажите, что в произвольном треугольнике $$\frac{1}{r}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}$$.

№18 Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри неравностороннего треугольника, до сторон этого треугольника заключена между наименьшей и наибольшей из высот треугольника.