Математика в палеолите и неолите

     Наши первоначальные представления о числах и геометрических формах относятся к эпохе древнего каменного века — палеолита. Уже тогда люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства в форме ромбов, треугольников, сегментов. В эпоху позднего палеолита они стали украшать свои жилища наскальными рисунками и статуэтками, имевшими ритуальное значение.

С наступлением неолита произошел переход от простого собирания пищи к ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию. Появились простейшие ремесла — гончарное, плотничьи, ткацкое. Это повлекло оживление торговли на уровне обмена. В этот момент входят в употребление числа. Возникает необходимость измерения длины и емкости тел. Единицы измерения были грубы и исходили из размеров человеческого тела.

Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, обработка металлов вырабатывали геометрические представления. Неолитические орнменты радовали глаз, выявляя равенство, симметрию, подобие фигур. В этих фигурах проявлялись и числовые соотношения: «треугольные» числа, «священные» числа. Такого рода орнаменты оставались в ходу и в исторические времена - византийская и арабская мозаика, персидские и китайские ковры. Первоначально ранние орнаменты, возможно, имели религиозное или магическое значение, но постепенно преобладающим стало их эстетическое значение.

 Геометрические знания в Древнем Египте

Современная наука располагает сравнительно небольшим числом египетских математических документов - около пятидесяти папирусов. Самым древним из них является «московский папирус», относящийся к эпохе 1850 г. до н.э. и содержащий 25 задач с решениями. Папирус был приобретен в 1893 г. русским востоковедом B.C. Голенищевым, а в 1912 г. перешел в собственность Московского музея изобразительных искусств. Папирус расшифрован русским академиком Б.А. Тураевым в 1917 г., а детально изучен в 1927 г. советским академиком В.В. Струве.

Другие папирусы относятся к более позднему периоду, а их содержание во многом повторяет «московский» и «лондонский». В задачах речь идет о количестве хлеба и различных сортов пива, о кормлении животных и хранении зерна. Геометрические задачи касаются преимущественно измерений и содержат правила для вычисления площадей треугольника и трапеции. Для вычисления площади произвольного четырехугольника со сторонами  a,  b,  c, d использовалось правило, записываемое в современных обозначениях в виде $$S = \frac{a+c}{2} \cdot \frac{b+d}{2}$$. Для площади круга с диаметром d правило имело вид $$S = (d - \frac{d}{9})^{2}$$. По-видимому, египтяне не сознавали, что эти правила являются приближенными.

Судя по одной из задач папируса Ахмеса, египтянам было известно свойство средней линии трапеции. Этот факт подтверждается рисунками на стенах храма Эдфу в Верхнем Египте, сделанными в более поздний период (II в. до н.э.). В папирусах есть правила для вычисления объемов таких тел, как куб, параллелепипед, цилиндр, причем все они рассматриваются конкретно как сосуды для хранения зерна. Самым замечательным результатом в египетских измерениях была формула (точнее, правило, ибо никаких формул тогда, конечно, не было) для вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием $$V = \frac{h}{3}(a^{2}+ a \cdot b+ b^{2})$$, где  a и  b — длины сторон квадратных оснований, h — высота.

Этот результат, которому не найдено соответствующего ни в какой другой древней математике, особенно примечателен тем, что нет никаких оснований считать, что египтянам была известна теорема Пифагора! Ссылки на рассказы древнегреческих ученых, побывавших в Египте и видевших арпадонаптов, строивших прямые углы с помощью веревки, имевшей 3 + 4 + 5 = 12 узлов, не подтверждаются египетскими текстами. По тем же причинам сомнительно сознательное использование египтянами подобия, хотя в погребальной камере отца фараона Рамсеса II одной из пирамид обнаружена стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену можно переносить в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

В Древнем Египте не было терминов «фигура», «сторона фигуры». Вместо этого использовались слова «поле», «границы поля», «длина поля». Все математические знания египтян были исключительно рецептурными и не осознавались в качестве самостоятельной ветви знаний'. Несмотря на путешествия египтян в папирусных лодках, астрономия в Египте находилась на таком же примитивно-прикладном уровне, что и математика. Однако и крупнейший историк древности Геродот, и философ Демокрит, и сам Аристотель именно Египет считали колыбелью геометрии. Вот что пишет об этом древнегреческий ученый Евдем Родосский (V в. до н.э.). «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли вследствие разливов Нила, постоянно смывающего границы участков. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из практических потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное».

 Геометрия в Вавилоне

Возделывание почвы в районах блуждающих Тигра и Евфрат, текущих с Армянского нагорья, требовало большего технического искусства и регулировки, чем в районе Нила. К тому же Двуречье было перекрестком многочисленных караванных путей. Вместе с товарами в Вавилон попадали знания других народов.

Шумеры писали на глиняных плитках, которые в большом количестве находят при раскопках. Найдены 44 глиняные таблички, которые можно считать своеобразной математической энциклопедией вавилонян, относящейся к 2000 г. до н.э. В табличках даны способы решения практических задач, связанных с земледелием, строительством и торговлей.

Основной чертой геометрии вавилонян был ее арифметико-алгебраический характер. Как и в Египте, геометрия развивалась на основе практических задач измерения, но геометрическая форма задачи обычно являлась только средством для постановки алгебраической проблемы. Приведем пример, взятый с одной из табличек периода царствования Хаммурапи. «Площадь А, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет   стороны другого квадрата, уменьшенной на 10. Каковы стороны квадратов?»  Если  x и  y — стороны квадратов, то мы будем иметь систему уравнении x² + y² = 1000;  $$y = \frac{2}{3}x - 10$$,  сводящуюся к квадратному уравнению $$\frac{13}{9}x^{2}- \frac{40}{3}x - 900 = 0$$, имеющему положительный корень x  = 30.

В действительности решение задачи в клинописном тексте таблички, как и во всех восточных задачах, ограничивается перечислением всех этапов вычисления, необходимых для решения квадратного уравнения: «Возведи в квадрат 10, это дает 100, вычти 100 из 1000, это дает 900...» и так далее.

Тексты глиняных табличек вавилонян содержат правила для вычисления площадей простых прямолинейных фигур и для объемов простых тел. Теорема Пифагора была известна не только для частных случаев, но и в полной общности — трудно даже предпо¬ложить, что вавилоняне подбором смогли найти такие «пифагоровы тройки» чисел, как 65; 72; 97 или 3456; 3367; 4825.

Помимо простейших фигур, рассматривавшихся в Египте, математики Вавилона изучали некоторые правильные многоугольники, сегменты круга. Решались также задачи на подобие фигур. Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна задолго до Фалеса. Это подтверждают клинописные таблички с задачами на построение пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов. Известно было и свойство средней линии трапеции.

В заключение отметим, что вавилонская математика оказала огромное влияние на математику Индии и Древней Греции, а также послужила отправным пунктом для расцвета математической культуры Ванского царства (Урарту) и соседней с ним Армении.

 Древнеиндийская геометрия

Древнеиндийская геометрия имела ярко выраженный практический характер и была тесно связана как с повседневными потребностями, так и с религиозными обрядами, в частности с культом жертвоприношения. В части дошедших до нас под названием «Сульва-сутра» («Правила веревки») священных древнеиндийских книг излагаются свойства фигур, связанных с построением алтарей-жертвенников. В настоящее время известно три книги «Сульва-сутра», авторами которых считаются Бодгойана (или Бодгоя-на, VI-VII в. до н.э.), Катиайана (или Катияна, IV-V в. до н.э.) и Апастамба (IV-V в. до н.э.).

В этих книгах встречаются описания вычисления площадей, построения квадрата по данной его стороне, деление отрезка пополам, есть примеры практического применения подобия треугольников и теоремы Пифагора, которая имела следующую формулировку: «Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей сторон. Квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого квадрата».

В «Сутрах» правила и приемы приводятся так же, как у египтян и вавилонян, без каких-либо объяснений. Вот как выглядит «правило Катиайаны» для построения квадрата, равновеликого кругу: «Разделить диаметр на 15 равных частей и взять 13 таких частей для стороны квадрата, равного по пощади данному кругу». А вот правило для построения прямого угла — перпендикуляра к направлению жертвенника: «К концам отрезка длиной 39 прикрепим концы веревки длиной 51 с узлом на расстоянии 15 от одного из концов; держа за узел и, подтя¬нув веревку, получим прямой угол». Кроме приведенной выше, индийцы знали другие пифагоровы тройки, например, 8; 15; 17 и 12; 35; 37.

Древний Китай

Все сочинения, содержащие математические знания китайских ученых, дошли до нас от периода династии Хань (206-220 г. до н.э.), но в них содержится материал более раннего происхождения. Самое древнее китайское математико-астрономическое сочинение «Чжоу-би», написанное около 1100 г. до н.э., в первой главе содержит предложения, относящиеся к прямоугольному треугольнику, среди которых — и теорема Пифагора. В этом же сочинении содержится правило для определения площади круга: «Умножь диаметр сам на себя, раздели на четыре, возьми три раза».

Итогом всех математических знаний древних китайцев явля¬ется трактат «Математика в девяти книгах» (II в. до н.э.), составителем которого является Чжан Цан (ум. 152 г. до н.э.). Трактат содержит 264 задачи без пояснительных текстов.

В трактате «Математика в девяти книгах» первая книга названа «Измерение полей» и содержит задачи на вычисление площадей земельных участков различной геометрической формы. Среди приведенных фигур имеются треугольники, трапеции, прямоугольники, круги, круговые сегменты, сектора и кольца. Правила вычисления площадей прямолинейных фигур в основном совпадают с современными, но терминология еще несовершенна: вместо понятия «трапеция» употребляется название «косое поле», вместо «сегмента» — «поле в виде лука» и т.д.

В пятой книге «Математики в девяти книгах» содержатся задачи на вычисление объемов крепостных стен, валов, плотин, каналов и других сооружений, и в связи с этим вычисляются объемы параллелепипеда, пирамиды, усеченной пирамиды, цилиндра. Из других письменных документов ученые делают предположение, что китайцы умели вычислять объем конуса и сферы, но достоверно сказать об этом сегодня не представляется возможным.

Девятая книга трактата имеет название «Гоу-гу» — так назывались катеты прямоугольного треугольника, причем гоу — вертикальный катет (в буквальном переводе — «крюк»), гу — горизонтальный катет («ребро», «связка»). Все 24 задачи этой главы решаются по правилу «гоу-гу», связывающему катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, то есть по теореме Пифагора. В летописях отмечается, что пифагорова тройка 3; 4; 5 была известна в Китае около 2200 г. до н.э. Прослеживая зарождение и становление геометрии, легко усмотреть поразительную близость математических сведений у различных народов, практически не общавшихся. Это сходство (как по форме, так и по содержанию) говорит об общности практических задач, породивших эти математические знания. Так на протяжении тысячелетий опытом и разумом многочисленных безвестных тружеников и мыслителей закладывался фундамент математической науки.

Пифагорейский союз

Представителями большой научно-философской школы, возникшей ок. 530 г. до н.э., были пифагорейцы, называвшие себя в честь философа, мистика и политического деятеля Пифагора (ок. 570 - ок. 500 гг. до н.э.). Пифагорейцы в противовес софистам подчеркивали реальность изменений и стремились, найти в природе и обществе неизменное. Для этого они изучали геометрию, арифметику, астрономию и музыку - так называемый «квадривиум». Позднее, в 360 г. до н.э., Платон, сформулировав идеалы рабовладельческой аристократии, предписал для нее обязательное изучение «квадривиума» для Понимания законов Вселенной и умения управлять народом.

Пифагорейский союз был чем-то вроде тайного религиозно-этического братства. Его члены были обязаны вести пифагорейский образ жизни, включавший в себя вместе с системой аскети¬ческих предписаний и табу обязательные научные занятия. Результаты этих научных изысканий традиционно приписывались Пифагору.

Результаты научных исследований пифагорейцы держали в секрете, и лишь несчастный случай привел к разглашению этой тайны. По преданию, один из пифагорейцев потерял деньги общины. После этого несчастному было позволено зарабатывать деньги преподаванием геометрии. А геометрия получила название «Предание Пифагора». Вполне вероятно, что в то время существовала книга с таким же названием.

Сам Пифагор — личность весьма противоречивая и загадочная. Известно, что еще юношей Пифагор покинул родной остров, много путешествовал, двенадцать лет учился у египетских мудрецов, десять лет жил в Вавилоне, говорят, что был в Ин¬дии. Вернувшись в зрелом возрасте на остров Самос, Пифагор застал там правителем знаменитого тирана Поликрата. По сви¬детельству античного автора, «свободный человек не мог с достоинством переносить произвол и деспотизм», и Пифагор покидает остров. Через некоторое время Пифагор, окруженный свитой учеников, появляется в Кротоне на юге Италии, выступая в роли проповедника и пророка. В Кротоне был образован пифагорейский союз.

Выступая в городе в качестве не только пророка, но и политического деятеля, с явно выраженными антидемократическими настроениями, Пифагор и его школа втянули жителей Кротона в многолетнюю междоусобную войну. В результате пифагорейцы были изгнаны из города, а в других городах южной Италии против пифагорейцев поднялось восстание. Сам Пифагор был убит в одной из уличных схваток. Пифагорейский союз распался, но и после этого многие ученые античности называли себя пифагорейцами. Поскольку до нас не дошли не только сами сочинения Пифагора, но даже их переложения другими авторами, то отделить творчество Пифагора от результатов его учеников сейчас невозможно.

В геометрии пифагорейцев привлекали прежде всего свойства фигур, которые могут быть выражены числовыми соотношения¬ми. Поэтому в особом почете оказалось соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике, которое вошло в науку как теорема Пифагора. О том, что это соотношение приписывается Пифагору, сообщает только Прокл, причем сам относится к этому с недоверием. Он же пишет о предании, что в знак благодарности за доказательство этой теоремы Пифагор принес в жертву богам 100 быков.

Вполне возможно, что ее первое доказательство действительно принадлежит школе Пифагора или даже ему самому, но это соотношение было известно и в Вавилоне времен царя Хаммурапи, и в Древнем Китае задолго до Пифагора.

Пифагорейцам были известны некоторые свойства правильных многоугольников и правильных многогранников. Они показали, как заполнить плоскость правильными треугольниками, шестиугольниками, квадратами, умели с помощью циркуля и линейки построить не только правильные треугольник, четырехугольник, шестиугольник, но и пятиугольник и десятиугольник. Последние две фигуры были нужны пифагорейцам для построения пятиконечной звезды — пентаграммы — служившей символом школы Пифагора. С пентаграммой связана легенда о том, как один из пифагорейцев по изображенной на дверях дома пятиконечной звезде нашел место, где после продолжительной болезни умер его соратник.  После чего хозяин дома в знак благодарности за заботу о больном человеке был щедро вознагражден.

Академия Платона

Дальнейшее развитие математики связано с величайшим философом Древней Греции Платоном (427-347 гг. до н.э). Платон — это не имя, а прозвище Аристокла, полученное им за свою мускулатуру атлета (от греческого tChxxxot, — ширина, то есть широкий, широкоплечий).

Хотя Платон был учеником Феодора из Кирены, дружил с Архитом и Теэтетом, сам он математиком не был. Однако математике Платон придавал исключительно большое значение. При входе в Академию была надпись: «Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии». Одному из желающих поступить в его школу для изучения философии без знания геометрии Платон сказал: «Уйди прочь! У тебя нет орудия для изучения философии».

Применение математики к практике Платон считал низменным занятием. Математику Платон ценил только как науку, необходимую для успешных занятий философией. Математические проблемы рассматриваются им в ряде диалогов: «Менон», «Теэ-тет», «Государство», «Послезаконие». В последнем сочинении он излагает теорию пропорций Архита. Не добавив к матёматической теорий многогранников ни слова, но включив их в свою космогоническую теорию, Платон увековечил свое имя в математике — пять правильных многогранников (тетраэдр, куб и додекаэдр, известные еще Пифагору, а также октаэдр и икосаэдр, открытые Теэтетом, часто называют «Платоновыми телами» или «космическими фигурами»).

Аристотель не был математиком и не написал ни одного математического сочинения, но был хорошо знаком с достижениями греческих математиков. В его книгах содержатся важные замечания, относящиеся к математическим наукам. Говоря о математике, Аристотель отмечал особенности математического метода: изучая количественные свойства предметов, математика отвлекается от всех чувственно воспринимаемых свойств этих предметов. Поэтому математические истины познаются не с помощью органов чувств, а с помощью разума. Этим определяется логика построения математики: исходя из определений и аксиом, то есть бесспорных положений, с помощью логических умозаключений выводятся теоремы и другие следствия.

Аристотель является создателем формальной логики, то есть учения об умозаключениях и доказательствах. Это учение, изложенное им в трактате «Аналитика», не признавалось Аристотелем отдельной научной дисциплиной, а подразумевалось как орудие всякой науки. Трактаты Аристотеля по логике значительно повлияли на уточнение математической аксиоматики и на строгость ее изложения.