Прежде всего, задача о квадратуре круга представляется совершенно естественной с точки зрения элементарной логики математического мышления. В самом деле, с одной стороны, имели круг как первую фигуру, с которой приходиться сталкиваться, когда получаешь в руки циркуль. С другой стороны, есть ещё одна совершенно естественная фигура – квадрат. Каждая из этих фигур имеет вполне определенную площадь. Но тогда ни одного математика не надо, очевидно, убеждать в том, что между двумя такими фигурами с одинаковыми площадями можно совершенно естественно протянуть мостик – преобразовать одну из них в другую. Поскольку же преобразовывать можно было только с помощью циркуля и линейки, то возникла  задача о том, чтобы с помощью данных инструментов построить сторону квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Но это и есть задача о квадратуре круга.
      А могло быть и иначе – к мысли о квадратуре круга могли прийти не непосредственно, а через ряд промежуточных звеньев. Так, например, издавна было известно утверждение, которое историческая традиция связывает с именем Пифагора – сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы. Эта истина задолго до Пифагора была известна вавилонянам, которые использовали ее в своих практических расчетах.
       Легко понять, что теорема Пифагора справедлива не только для квадратов, построенных на катетах и гипотенузе, но для любых подобных фигур, построенных на этих отрезках. В самом деле, если a, b, c   – соответственно длины катетов и гипотенузы, а   A, B, C  – площади построенных на них подобных фигур, то, как известно,  $$\frac{A}{a^{2}} = \frac{B}{b^{2}} = \frac{C}{c^{2}}= \lambda$$. (Через $$\lambda$$   мы обозначили величину общего отношения).  Отсюда  $$A + B = \lambda (a^{2}+b^{2})= \lambda c^{2}= C$$,  что и доказывает утверждение.
       В частности, сумма площадей двух полукругов, построенных на катетах, равна площади полукруга, построенного на гипотенузе (катеты и гипотенуза являются диаметрами  соответствующих полукругов). Но в таком случае, как видно из рис.1, сумма площадей двух заштрихованных серпиков равна площади заштрихованного прямоугольного треугольника.

Операция нахождения стороны квадрата, площадь которого равна площади прямоугольного треугольника, представлена на рис.2. На нём изображен треугольник АВС с катетами BC  = a , AC  = b . Строим отрезок AD = b + $$\frac{a}{2}$$  и на нем как на диаметре – полуокружность. Пусть последняя пересекает катет BC  или его продолжение в точке K . Тогда CK  – сторона искомого квадрата, поскольку $$CK^{2}= AC \cdot CD = b \cdot \frac{a}{2}$$.
Обратимся теперь к рис.3, на котором изображены прямоугольный треугольник АВС, его высота СК, проекции АК и КВ катетов на гипотенузу. На этих проекциях и на гипотенузе построены полуокружности.

Заштрихованная фигура, образованная такими полуокружностями, напоминает древнегреческий сапожный нож арбелон, поэтому и задача об отыскании площади такой фигуры получила название задачи об арбелоне. Обратим внимание на то, что арбелон образован дугами трёх окружностей, следовательно, в известном смысле, может быть, рассматриваем как некоторая обобщенная луночка Гиппократа. Рис.3 также может быть выполнен с помощью циркуля и линейки. На этом рисунке представлен также и круг с диаметром CK . Пусть  k – площадь такого круга, a  – площадь арбелона. Легко усмотреть справедливость следующих равенств: $$k = \pi(\frac{CK}{2})^{2}$$

  и  $$a = \frac{1}{2}\pi(\frac{AK + KB}{2})^{2}-\frac{1}{2}\pi(\frac{AK }{2})^{2}-\frac{1}{2}\pi(\frac{KB}{2})^{2}= \pi \frac{AK \cdot KB}{4}$$. Но  $$CK^{2}= AC \cdot CD$$, следовательно, a = k
       Таким образом, с помощью циркуля и линейки некоторые обобщенные луночки Гиппократа (арбелон) можно превратить в равновеликий им круг. Отсюда совершенно естественно могла возникнуть мысль о том, а нельзя ли через посредничество каких – то луночек Гиппократа превратить круг в равновеликий ему квадрат. Так или не так происходило дело в действительности, мы сказать не можем, но нельзя отрицать того, что с точки зрения логики математических ассоциаций вероятность подобной последовательности рассуждений достаточно велика.